SÉANCE DU 3o AOUT igiS. 23 I 



qu'on tirerait des indications de M. Bianchi relatives au même cas parti- 

 culier, et Ton en déduit aussi que notre domaine de réduction ne coïncide 

 pas toujours avec le domaine fondamental que donnent pour le groupe F, 

 dans les cas où elles aboutissent, les méthodes de Téminent géomètre 

 italien. C'est ce qui se produit, par exemple, si D = i>i. 



Il V a toutefois un cas intéressant où les deux domaines sont les mêmes : 

 c'est celui où la méthode de la symétrie permet, à elle seule, de fermer le 

 polyèdre. En ce cas, en effet, M. Bianchi emploie, pour la fermeture, des 

 sphères qu'il appelle sphères de réflexion propre ou impropre^ et qui, comme 

 on s'en assure de suite par leurs équations (voir plus bas n*^' 11), sont des 

 sphères (A, a). 



10. Propriétés des réduites. ^ D'après la manière même dont nous avons 

 formé le domaine de réduction, nous pouVons dire que : 



1° Si la forme (A, />, C) a son point représentatif dans le domaine, elle 

 est réduite, et son minimum propre est A, qui n'est obtenu que pour 



2° Si le point représentatif de (A, è, C) est sur la face sphérique (A, [7.) 

 du domaine, en dehors d'une arête et d'un sommet, le minimum propre A 

 n'est obtenu que pour a?=:±i,y=:o, et x = £A, jk = £[J-, (^ = — ï)? 



3° Si le point est sur l'arête commune aux sphères (X, u.) et (A', \i.' ), 

 on a, pour A, les représentations (dzi,o); {tk, £[J-); (eX', £[i.'), mais il 

 peut en exister d'autres, parce que, par l'arête, peuvent passer d'autres 

 sphères (A, a), non faces du domaine. 



4° Silepoint est le sommet commun aux sphères (A, a), ()/, \jJ), (A", a"), 

 on a de niême,«w wom^, les représentations (d= i, o); \.cX, £(J.); (sA', i[J-')\ 



(=>^",^K-")- 



Toutes les représentations dont il est question ici sont propres. 



11. Correspondance des faces du domaine. — On sait qu'elles se corres- 

 pondent par des substitutions spatiales, dérivées de certaines substitutions 

 de r dont l'ensemble engendre F. D'abord les faces planes donnent les 

 substitutions évidentes ^'=r-Hi; z' z= z -+- i\jD ; pour les faces sphériques, 

 bornons-nous à énoncer le résultat. 



A la face (A, a) répond une face (A', [j. ), définie par 



^' ■= [j. ; /.A' ^ — I mod|y., 



