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d'où, pour (A', [x'), un et un seul système de valeurs admissible, et la 

 substitution correspondante de Y est 



Les sphères de réflexion yoroyore (n*^' 9) de M. Bianchi sont celles de nos 

 sphères (A, u,) pour lesquelles, p. étant réel ou purement imaginaire^ on 

 a XXflEEEEi mod [j:, \ désignant toujours le conjugué de X; pour les sphères 

 de réflexion improj)re, même observation, avec AA^^— i mod [jl. 



On en conclut qu'à une face (A, [x) pj^opre^ répond sa symétrique, éga- 

 lement propre, par rapport à ^ = o ouàrj^o, selon que [x est réel ou 

 purement imaginaire; à une face impropre^ répond sa symétrique, éga- 

 lement impropre, par rapporta ^ •= o ou à ■/] = o, selon que u, est purement 

 imaginaire ou réel. 



Réciproquement, on établit que les seules faces qui correspondent à 

 leurs symétriques (par rapport à ^ = o ou y] = o) sont les faces propres et 

 impropres. 



Ce sujet appellerait bien d'autres remarques; nous les laissons de côté 

 pour revenir aux formes d'Hermite. 



12. Minimum pi'opre et minimum effectif. — Nous savons que, pour une 

 réduite (A, h, C), A est le minimum propre; mais si l'on donne à x,y, 

 dans la réduite, des valeurs noTi premières entre elles, la forme prend-elle 

 nécessairement une valeur supérieure à A? Dans le champ complexe ordi- 

 naire (D = i), la réponse est affirmative, parce que deux entiers non pre- 

 miers entre eux ont un plus grand commun diviseur entier; elle est néga- 

 tive dans le champ quadratique général « \/D, comme le montreraient des 

 exemples (voir plus bas). Dès lors, on peut se poser le problème suivant : 



Quelles sont, dans le corps quadratique is^X}, les formes positives réduites 

 d'Hermite, pour lesquelles le minimum propre est le minhnum effectif, c'est- 

 à-dire est le plus petit des entiers représentés, proprement ou non, parla 

 forme? 



Notre méthode permet de répondre à la question en construisant le 

 doimdne correspondant, c'est-à-dire la région de l'espace où sont situés les 

 points représentatifs des réduites cherchées; on procédera comme pour le 

 domaine ordinaire de réduction, mais en ajoutant aux sphères (A,ui.)les 

 sphères nouvelles analogues, où A et a ne sont pas pre/niers entre euoc. 



