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dans le cas d'une solution double on a 



en désignant par Vo la solution double, par v, une autre solution particu- 

 lière et par c la constance arbitraire. 



1. Je vais donner maintenant une propriété de la solution double, mais 

 j'ai besoin pour cela d'introduire une notion relative aux familles de courbes 

 planes. 



On sait que, lorsque les courbes intégrales d'une équation différen- 

 tielle 



forment une famille de courbes parallèles, on peut effectuer l'intégration 

 par une quadrature [Goursat : Cours d'Analyse mathématique (2^ éd.) 

 t. II, p. 344' exercice 10]. 



Il est facile de voir que, laissant de côté le cas banal d'une famille de 

 droites parallèles (et encore dans ce casl'équationde Riccati est dégénérée), 

 l'équation (i) ne saurait définir une famille de courbes parallèles. 



Mais on peut généraliser la question de la manière suivante : 



Lorsque des courbes forment une famille (dépendant d'un paramètre) 

 et sont parallèles, leurs trajectoires orthogonales sont des lignes droites. 

 Ainsi le parallélisme se traduit par la rectitude des trajectoires orthogo- 

 nales, ou encore par le fait que les trajectoires orthogonales ont partout 

 des points d'inllexion. 



Mais au lieu de considérer l'ensemble des courbes de la famille, envisa- 

 geons seulement une courbe Co et les courbes infiniment voisines : leur 

 parallélisme se traduit par la rectitude ou mieux par l'inflexion des 

 trajectoires orthogonales aux points de rencontre avec C^. 



Gela nous conduit alors à considérer le cas limite suivant : 



Des courbes G forment une famille simplement infinie et sont coupées 

 orlhogonalement par les courbes T d'une seconde famille, ces courbes T 

 n'étant pas des droites; mais parmi les G il existe une courbe (]„ telle que 

 chacun de ses points est un point d'inflexion pour la courbe T qui y passe. 



IXous dirons dans ces conditions que la courbe G^ possède le caractère du 

 parallélisme. 



Revenant maintenant à l'équation de Riccati, on peut se demander sous 

 quelles conditions une courbe intégrale de cette équation peut présenter le 



