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continuelle, et repose sur la considération de la division modulaire classique 

 du demi-plan analytique supérieur. Chaque domaine de cette division est 

 un triangle à côtés circulaires normaux à O^; nous appellerons pointe celui 

 des trois sommets qui est situé sur O^ ou à l'infini, réservant aux deux 

 autres le nom de sommets. 



L'interprétation de la méthode d'Hermite est alors la suivante : 



Un point mobile parcourt la droite \ ~lm en parlant de qc et en se dirigeant 

 vers le point m, de O^, dans le demi-plan supérieur : on prend, pour approcher 

 de (0, les abscisses, a : c, des pointes des domaines modulaires que traverse suc- 

 cessivement le point mobile. 



3. Problème. ' — Reconnaître si une fraction irréductible donnée, à termes 

 positifs, a : c, est, ou non, une fraction d'Hermite pour le nombre w; dans le 

 cas de l'affirmative, trouver la fraction suivante. 



Les sommets des domaines dont la pointe est « : c sont sur une circonfé- 

 rence, S, qui touche O^ au point d'abscisse a : c (pointe), contient à son 

 intérieur tous ces domaines, et a pour équation 



(3) c"-(^*+y)') — 2ac^ ^—-n^a^ — o. 



v/3 



Pour que a \ c soit une fraction d'Hermite, il faut et il suffit que la 

 droite ^ = o) coupe un des domaines de pointe a : c; on voit facilement que 

 cela exige : i" que la droite ^ = co coupe 2 en deux points réels, m et m'\ 

 2" que m et m! ne soient pas à la fois.^ sur 2, entre les deux sommets d'un 

 même domaine de pointe a \ c. Ces conditions sont nécessaires et suffi- 

 santes. 



La première condition donne de suite l'inégalité (2) ; si donc nous posons 



(4) Mrrcjrt — cm\ ou it = sc{a — cw), 



£ désignant ± i et ayant le signe de a — cw, on aura 



o^u'L — 



Afin de traduire algébriquement la seconde condition, il sera commode 

 d'opérer une substitution modulaire, changeant le point z^= a '.c en le 

 point C = »; nous choisirons la substitution 



(5) . = ___, ad,-ch,= t, 



