SÉANCE DU 20 DÉCEMBRE igiS. 773 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la Convergence des qiiadr al lires. Noie 

 de M. Nicolas Kryloff, présentée par iM. Emile Picard. 



Dans son Mémoire Quelques recherches sur la théorie des quadra- 

 tures, dites mécaniques {'), T.-J. Stieltjes démontre, par une analyse d'une 

 extrême finesse, la convergence des quadratures mécaniques pour toute 

 fonction intégrable, mais son raisonnement, basé sur la notion même de 

 l'intégrale définie, comme limite d'une somme, repose essentiellement 

 sur le fait que les coefficients A, dans la formule des quadratures sont 

 positifs. 



Il ne serait donc pas peut-être tout à fait dépourvu d'intérêt de présenter 

 une autre démonstration dans les suppositions, il est vrai jnoins larges, que 

 celles de Stieltjes à propos de la fonction sous le signe d'intégrale, mais 

 permettant en revanche d' aborder le cas plus général des quadratures non 

 mécaniques, où les A, ont des signes quelconques, à la condition, toutefois, 

 qu'il existe un nombre fixe M, tel que 



n 



(= I 



ou même une puissance /i\ de degré fini, déterminé /•, telle que 



n 



{2) ^\AA<^''' 



i = l 



(N est un coefficient numérique). 



Partant pour cela de la possibilité (-) du développement d'une fonction, 

 possédant le première dérivée, en série uniformément convergente dans 

 l'intervalle (— i, 4- i), procédant suivant les polynômes de Tchebychefl", 

 on aboutit au théorème suivant : Pour une fe/lc fonction (^) on peut affirmer 

 la convergence des quadratures^ dites mécaniques; le raisonnement bien 

 simple, qui le prouve, n'utilise que la condition (i), vérifiée en effet pour 



(') Annales de l'École Normale, 188/4. 



('-) Voir Stekloff, Quelques applications nouvelles de la théorie de fenneture... 

 {Mémoires de l' Académie des Sciences de Petrograd^ '9'^i)- 



(3) Et même plus générale, se présenlant sous forme de l'intégrale d'une fonction 

 inléiTral)le. 



