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ces quadratures, car en ce cas toutes les A,>> o, et 

 La considération de la fonction 



(3.) 0{X)=.'- I 'l{.,)dr 



[(où '^'{oc) est continue (' )J permettra alors pour le cas (i) de prouver la 

 validité de convergence des quadratures pour toute fonction continue et 

 pour le cas (2), dans les suppositions moins générales, il y aura donc lieu 

 de rechercher à ce point de vue les formules des quadratures usitées. 



Cela étant, l'introduction de la fonction du même genre que (3), mais 

 où'>{;(j7) est cette fois seulement intégrable, permettra dans le cas (i) de 

 généraliser un peu le résultat, en établissant la formule des quadratures, où 

 interviennent les F(œi+- o ), au lieu de F{Xi) et où F(.x'), ne possédant que 

 des discontinuités de première espèce, vérifie une certaine condition (^); 

 cette extension, n'ayant pas de portée pratique (^) peut servir néanmoins à 

 l'évaluation de l'intégrale, si toutes les F(a-i-+-o) peuvent dtre calculées. 



Par la voie des quadratures on peut obtenir, chemin faisant, le théorème 

 bien connu et si important de Weierstrass, concernant l'approximation des 

 fonctions continues à l'aide des polynômes; pour la démonstration, qui 

 permet, remarquons-le en passant, de construire effectivement les poly- 

 nômes d'approximation, il suffit préalablement d'établir que non seule- 

 ment, pour toute fonction continue, 



lim / Y{„{.v) djc =z o, 



mais encore 



lim I \\\n{x)\djc ^= o; 



n=r: J ^^ 



(') introduite par M. Stecklofl' dans sa rennarqnable théorie de fermeture des sys- 

 tèmes des fonctions orthogonales {Mémoires de i Académie des Sciences de l^ctro- 

 grad, \(^i\). 



(-) Posant tp(a^ -t-- o) =: lim .};(./• + // ), 011 suppose que .L(.r + h ) tend vers sa limite 

 • /( = « 

 uniformément. 



(^) Car si la fonction nous est donnée empiriquement, on connaît F(.r,), mais 



pas F(jr, •+- o). 



