276 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Pour que NPM et 0,0^0., soient respectivement homologiques, il faut 

 que 



dès lors, si l'on a 



MNP et O, O0O3 seront trihomologiques, c'est-à-dire homologiques de trois 

 manières dillérentes. 



Pour que MPiN et O, OoO.., soient respectivement homologiques, il faut 

 que 



77U7l^p.^r= /;?3 «,/?,. 



De même si Pi\M et OiOoO;, sont respectivement homologiques, on 

 aura 



7n^i7l.2Pi = /«i fhp2. 



Dès lors si 



(2) m,«3/>2=: mj/? 1^3= /»3 «2/^1, 



MPN et 0,0o03 seront trihomologiques et si les relations (i) et (2) ont 

 lieu simultanément, MNP et 0,0o03 seront hexahomologiques, c'est- 

 à-dire homologiques de six manières différentes. 



Existe-t-il de pareils triangles? 



En appelant, comme d'usage, i, y, y- les racines cuhiques de l'unité, on 

 voit aisément que les trois triangles ci-après satisfont aux conditions 

 voulues 



Gi = /«i, 771-2, "Ï31 J'i ^^Jff^li "^2? ''^3) Jî=^,/""'l- "'•>> "'31 



G-iZZZ />*,, //«2, ,/""^i, J'2 ^^'^li/^'sj '^^31 Jo=- /?i,,/- /?«.,, /;/3, 



G3 ^= /« 1 , y ' /ti 2 , Jfn 3 , J '3 =; »? 1 , »? 2 > ./ "*3 ' J 3 = "* 1 ^ ''' 2 ^ ./ " '" 3 • 



Les triangles GjGoGa, J, J'^J.,, «l^^J^J'i et 0,0^03 sont hexahomolo- 

 giques entre eux deux à deux; les centres et les axes d'homologie étant 

 respectivement les sommets et les côtés des deux autres triangles. 



Il y a là une réciprocité très intéressante. 



En d'autres termes, les douze sommets des quatre triangles se trouvent, 

 quatre par quatre, sur neuf droites et de chacjue sommet parlent trois 

 droites formant avec les côtés du triangle, adjacents au sommet, une divi- 

 sion équiharmonique. Ces neuf droites sont 



0,G,.r,Jf, o,G2J3.n, o,G3j;j^ 

 02G,j;j::, 02G2J',J^ OjGsJ'sJf, 

 03G,j;j^ 03G2J;J^ 03G3.r,j^ 



