SÉANCE DU 6 SEPTEMBRE IQlS. 279 



et 



i^/,-,p = «' " ' 9/.- ( ^'\3 ) (7r = :v/ -H I , . . . , 2/j ) 



les périodes réduites de ces deux systèmes, OiÇcOg,) et (p/,(cop) étant des formes 

 linéaires à coefficients entiers, portant respectivement sur co^,, et (0^3 

 (^=1, 2, . . . , 2/?), o/i a les relations cp,(a)p)=o, 0;,(cO(^)= o; à chaque 

 système de rang q Une correspond quhin seul système de rang p — q jouissant 

 des propriétés mentionnées . 



Les deux systèmes en {\\i^^i\QXi^Q.vow\.à\i'<, complémentaires V un de V autre . 



L'existence d'un système complet d'intégrales réductijjles donne lieu 

 aux correspondances singulières (dans le sens de M. Huhvitz, Math. Ann., 

 t. 28) existant entre les points de la surface de Riemann correspondante. 

 Cependant, il est légitime d'étendre la notion de correspondance comme 

 il suit : 



Il existe entre les points d'une surface de Riemann une dépendance de 

 la forme qu'à chaque point il correspond [ji groupes G/ de v points; les 

 groupes G/ en question ne peuvent que s'échanger entre eux si le point 

 origine x décrit un cycle arbitraire; il peut bien d'ailleurs se produire des 

 permutations entre les points d'un même groupe. 



On dira qu'il existe une correspondance de degré [^ sur la surface de 

 Riemann considérée. Si [i. = i on a une correspondance proprement dite; 

 dans le cas où u,'^ i, il existe encore une correspondance du premier degré 

 dont les points conjugués sont constitués par l'ensemble des [7.v points des 

 groupes G, -+- G., -h . . . -+ G,j.. Cela posé, on a le théorème suivant : 



S'il existe sur la surface de Riemann un système complet d'intégrales réduc- 

 tibles au rang q (respect, p — q) cette su/face admet toujours des correspon- 

 dances dont les points conjugués vérifient les congruences 



£ étant un nombre rationnel arbitraire, c^ désignant des constantes et récipro- 

 quement : s'il existe sur la surface de Riemann. une correspondance d'un degré 

 fini u-, vérifiant un système des congruences de la forme ci-dessus, les inté- 

 grales ('a et ç'p sont réductibles respectivement aux rangs q et p — q, ils forment 

 d'ailleurs deux systèmes complémentaires . 



Pour démontrer la première partie du théorème, il suffit de remarquer 



