28o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



les relations 



Pour démontrer la réciproque, on peut évidemment se borner à consi- 

 dérer le cas où la correspondance est du premier degré et £ un nombre 

 entier 7z. 



Le point .r décrivant un cycle arbitraire sur la surface de Riemann, la 

 somme des chemins décrits par les points du groupe G peut toujours, par 

 une déformation continue, être ramenée à avoir la forme 



Q ( oj ) = N, ( r,) ), + N, ( w ), -f ■. . . N,,, ( «),/,, 



les N, étant des entiers positifs ou négatifs. Il existe bien des cycles dont 

 les nombres N, ne sont pas tous nuls à la fois. Soient y le nombre des cycles 

 non équivalents entre eux jouissant de la propriété ci-dessus et 



9,((o) (i = r, 2, . . .,y) 



les chemins correspondants décrits par l'ensemble des points du groupe G. 

 Le contour (G) correspondant au cycle arbitraire (C) décrit par le 

 point ao est équivalent à une somme de la forme 



« 1 9 , ( cij ) -h «2 9-2 ( '■-'> ) + • • • + '* y 9y ( '^^ ) • 



On en conclut que les périodes des intégrales ^\ sont réductibles aux 

 systèmes w"' cp,(a)a), tandis que ceux des intégrales (^p vérifient les relations 



Le nombre des intégrales linéairement distinctes ne pouvant surpasser le 

 rang, on doit avoir y =: 2^, ce qui démontre le théorème. 



La proposition précédente conduit à des conséquences que je me réserve 

 de développer dans une autre occasion. 



Remarque. - Le théorème étant susceptible de diverses généralisations, 

 on est naturellement conduit à substituer au système précédent celui de la 

 forme 



^£,ra(.r/) sz^ ('a(.'r) -h r^ {y. = i, o, ^;), 



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