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CINÉMATIQUE DES CORPS DÉFORMABLES. — Remarques et calculs montrant 

 que la complication des formules pour les grands déplacements est due non 

 aux déformations^ mais aux rotations. Note (') de M. J. Boussinesq. 



I. A l'article IV d'un court Mémoire sur la théorie ^eome/r^'^we des dépla- 

 cements bien continus des corps déformables, que contient le deuxième 

 fascicule du Journal de Mathématiques pures et appliquées pour 191 2, j'ai 

 reconnu (p. 225 à 227 du Volume) que, dans le cas de déplacements ^, v], X. 

 corrélatifs à de fortes déformations d'une particule, les formules des neuf 

 dérivées partielles premières de ^, yj, '( par rapport aux coordonnées primi- 

 tives x,y, zj sont linéaires et homogènes en fonction des trois dilatations 

 principales ^|, <)o, ^3 de la particule, quand le trièdre rectangulaire des trois 

 fibres principales (ou dont Z»,, ^25 î^3 désignent les dilatations) a gardé son 

 orientation primitive ; d'où il suit que c'est uniquement la rotation du trièdre, 

 dite rotation moyenne de la particule et censée, si l'on veut, se faire après 

 la déformation, qui vient compliquer les formules de cette théorie, de 

 manière à ne les laisser linéaires, par rapport à l'ensemble des déformations 

 et des rotations, que pour des déformations et des rotations infiniment 

 petites. 



Afin de mieux apprécier le degré de complication que les rotations y 

 introduisent, traitons le cas, de beaucoup le plus simple, où les deux coor- 

 données X, y, avec les deux déplacements l, yj, sont seuls à considérer, 

 c'est-à-dire le cas des déplacements ^, Y] d'un feuillet matériel, produits 

 dans son propre plan. 



Alors, s'il s'agit d'une déformation pure (ou sans rotation) d'un élément 

 d'aire du feuillet, les dilatations principales se réduisent à ^,, ;)^, et leurs 

 cosinus directeurs respectifs, par rapport aux axes généraux et fixes des x 

 et des y, à 



a,:=:cos9, (3i=sincp, «,=: — sincp, (32:==cos9, 



n 

 S T 



(p désignant les deux azimuts respectifs, restés jusque-là invariables, 



de ^, et de Do, c'est-à-dire des deux fibres principales émanées d'un point 

 central quelconque M de l'élément considéré de feuillet. D'ailleurs, d'après 

 les formules du n*' 8 du Mémoire (p. 219), les deux dérivées (directes) A, 13 



(') Séance du i3 septembre igiS. 



