SÉANCE DU 20 SEPTEMBRE igiS. 33l 



de ^ en o; et de y] eny, j ont les expressions 



k = (X\'^i-h Ot-l i>2=: L\C0S-Cp + OoSin-cp = H COS2 9, 



B = (3f ^1-1- j3^ ^a^'^iSin-cp + ^.2COS-9 = ~ -" C0S2 cp, 



tandis que la valeur, alors commune et appelée F, des deux dérivées 

 (obliques) de ^ en y et de Y] en .v est 



(2) F ^ «ijSi^i -t- ajjS^^î = (c»! — ^i) coscp sincp = sin2 qj. 



II. Faisons passer, par le point matériel choisi M de l'élément (de 

 feuillet) qui a pris sa nouvelle configuration, mais où les deux fibres princi- 

 pales ont gardé leurs directions primitives, deux axes rectangulaires des h 

 et des k, constamment parallèles aux axes fixes des x et des j; et menons 

 la fibre MK joignant cette origine mobile M à tout point matériel K de 

 l'élément de feuillet. Soient h et k les deux coordonnées primitives du 

 point K par rapport à ces axes, c'est-à-dire les accroissements élémentaires 

 qu'éprouvaient x et j dans l'état primitif, quand on passait de M à K. Après 

 la déformation (sans rotation) qui a changé MK en M'K', ces coordonnées 

 auront évidemment crû de Ah + Fk, FA + B/^; et, si l'on appelle /i, k' les 

 deux nouvelles projections, sur les axes des h et des k, de la fibre MK 

 devenue M'K', projections qu'on peut dessiner ou matérialiser sur l'élé- 

 ment de feuillet ainsi parvenu à sa configuration définitive, on aura 



(3) A'=(i-+- A)/i + FA-, A'=:FA-h(H-B)Â-, 



avec A, B, F fonctions bien déterminées, d'après (i) et (2), des deux dila- 

 tations principales données ?,^ i., et de l'angle (p de ^^ avec les x avant toute 

 rotation de l'élément. 



Imprimons maintenant à cet élément de feuillet, autour du point cen- 

 tral M, une rotation co quelconque (comptée positivement dans le sens </ïVecZ 

 allant des x positifs vers les y positifs), pour lui faire prendre l'orientation 

 qu'il a effectivement après les déplacements E, y] étudiés. Alors les Jibres h' 

 et k' ci-dessus^ projections matérialisées de la droite M'K' devenue mainte- 

 nant dans l'espace M"K", dessineront par rapport aux axes des h et des k, à 

 orientation fixe, deux axes rectangulaires des k' et des k., faisant avec ces 



axes des h, k, l'un, celui des h', les deux angles w, w, l'autre, celui 



