SÉANCE DU 20 SEPTEMBRE igiS. 34l 



indiquer les résultais qu'elle nous a donnés pour l'ellipsoïde correspondant 

 à /i = 5. Mais comme il est bon, pour pouvoir appliquer cette méthode sans 

 trop de tâtonnements, de connaître une valeur approchée de l'un des élé- 

 ments qu'on se propose de calculer, nous allons auparavant exposer un 

 procédé très simple pour obtenir une telle valeur. 



Il suffit d'identifier le Jacobien avec un ellipsoïde de révolution, c'est- 

 à-dire de faire, avec les notations de Darwin, « = Z> = i, et, avec celles de 

 M. Liapounotr, q = o. On sait en effet qu'à mesure qu'on avance dans la 

 série des valeurs de /z, le Jacobien tend de plus en plus à s'approcher de la 

 forme de révolution; déjà, pour n = 4, la dilïërence Z) — a est inférieure 

 à 0,02. L'écart entre les éléments approchés ainsi obtenus et les éléments 

 vrais sera donc de moins en moins sensible. 



Le calcul des éléments approchés se fait sans grandes difficultés : les 



fonctions de Lamé de première et de deuxième espèces sont remplacées par 



des fonctions de Legendre de première et de deuxième espèces; celles qui 



contenaient un radical sont remplacées par des fonctions adjointes de 



Legendre. Des deux équations de Poincaré il ne subsiste plus que la 



seconde 



R,Si H„S„ 



Voyons ce qu'elle devient : à la fonction R, = sjr'^ — a'- se substitue la 



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fonction PJ = yV^ "~ ^i et à -tt^ se substitue la fonction adjointe de deuxième 



espèce Q\ ~ =: H — sjr- — i log Le premier membre devient 



\/r- — I 2 /• — I 



donc 



_,. + (,.-_i)|og- 



Quant au second membre, comme R„ ne contient pas de radical, il de- 

 vient P,jQ,,, où P„ est le polynôme de Legendre d'ordre n, et Q„ la fonction 

 de deuxième espèce, qu'on pourra écrire sous la forme suivante, due à 

 Hermite : » 



( )„ = L p„ log '-ti _ y ' p„_, p,_, . 



Une fois l'équation écrite, il ne reste plus qu'à en chercher la racine, ce 

 qui ne sera pas compliqué puisqu'on n'a pas besoin d'une grande précision. 

 De cette racine r on déduira une valeur approchée p' de l'élément p de 



