372 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



en posant 



( o ) d; ;; — r,i 9 ( 4- y. 92 ( ■ — -^ /;j 93 



et l'on a 



"=^-^^ ,,, / .'■ -* « f.> . 



/ï " — ac 



Il est alors évident que la fonction F[^r, y.,, y.^, v-, | admet la période w 

 par rapport à x-, puisque le changement de x en ./ -h co donne le même 

 résultat que le changement de n en /? h- i dans la série. On peut donc 

 écrire 



(4) V\x,r,,Y,,y,^ = e^y. V A, 



2 VTT. 



Av étant une fonction entière de y., et Vg. Ce coefllcient est donné par la 

 formule classique 



2/ 



(■> 2 VTT.iv , / .>■ -i-n ( 



Av= > / e '■' • '" cLr; 



comme n est entier, on peut, en ajoutant — 'ivn~i à l'exposant, écrire 





n <<•> 



~ 2 v~ I '■ h -h ( ) 



e d.r . 



Mais alors, en faisant, dans chaque intégrale, le changement de variable 



X 4- n. 0) _ ., 



on a 



et enfin 



Av= / e'W^'--^"'^r/c;, 

 Av= / e'"9(^'+r.9a(l)+.>3?,(S)-2vitit<^ï^ 



la variable d'intégration étant réelle. 



Le coefficient A,,, fonction entière de y., et J3, est ainsi exprimé par une 

 intégrale définie, dans laquelle rex[)Osant de e est un polynôme du qua- 

 trième degré par rapport à la variable d'intégration. 



