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MÉCANIQUE. — Sur le Jlamhemenl d'une lige courbe. 

 Note de M. L. Lecorxu. 



Dans un Mémoire intitulé : Sur un nouveau cas intégrable du problème de 

 V élastique et l'une de ses applications ( ' ), Maurice Levy a traité la question 

 suivante : 



Un anneau circulaire étant soumis sur tout son périmètre à une pression 

 toujours normale et uniforme, située dans son plan, quelle est la condition pour 

 que la forme circulaire soit la seule figure d'équilibre de cet anneau ? 



Par un calcul basé sur la discussion d'intégrales elliptiques, il trouve 



que, si l'on appelle E le coefficient d'élasticité, I le moment d'inertie de la 



section droite, p la pression rapportée à l'unité de longueur de fibre 



moyenne, R le rayon de cette fibre, aucune flexion ne peut se produire tant 



I -. /^R^ 1 • f, . , g 



que le rapport A := '-rrr- demeure mlerieur a f- 



Au moment où ce résultat fut communiqué par l'auteur à l'Acadé- 

 mie (i883), M. Boussinesq montra, d'une façon très simple, qu'on devait 



adopter pour X la valeur 3, supérieure à ■^• 



La question a été reprise par Halphen (-). 



Il opère par inversion des inté;^rales el conclut que la forme circulaire est réellement 

 la seule forme d'équilibre possible tant que 1 n'atteint pas la limite 3, puis il ajoute: 

 « La méthode fournit des conditions seulement suffisantes à la stabilité, sans prouver 

 aucunement leur nécessité. » 



H.aiphen examine également le cas d'une tige dont la forme d'équilibre naturel est 

 un arc de cercle et dont les extrémités sont assujetties à glisser sur deux droites fixes 

 que l'arc rencontre orlliogonalement. En désignant par y l'angle de ces droites, il éta- 

 blit que, si y est inférieur à 71, l'équilibre naturel est le seul possible tant que A est 



inférieur à -^ — i, et que, si y est égal ou supérieur à tt, l'équilibre naturel est le seul 



y- 



possible tant que A n'atteint pas —, ■ i. L'auteur remarque alors que, si la méthode 



donnait des conditions à la fois nécessaires el suffisantes pour la stabilité, on trouve- 

 rait absurde la discontinuité qui se présente au passage de la valeur y =: tt. 



Les calculs d'Halphen ne donnent, ainsi qu'il le déclare lui-même, aucun reuseigne- 



(') Journal de Mathématiques pures et applujuéeSy i884. 



(^) Sur une courbe élastique {Journal de l'Ecole Polytechnique, 1884). 



