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ment sur le cas d'une lige circulaire dont les extrémités sont simplement assujetties â 

 demeurer fixes : a Pour de tels problèmes, dit-il, la méthode cesse de réussir. Il fau- 

 drait, pour les résoudre, qu'on découvrît d'autres procédés. » 



La recherche des formes d'équilibre autres que la forme circulaire, inté- 

 ressante en elle-même, n'a qu'un rapport indirect a\cc la stabilité de cette 

 dernière, car la stabilité pourrait subsister malgré leur existence. D'ailleurs 

 Maurice Levy et Halphen laissent de côté les déformations capables 

 d'amener un ou plusieurs contacts entre les diverses parties de la tige, et 

 cependant il est permis de concevoir qu'un^anneau, après avoir commencé 

 à s'aplatir, continue de se défigurer jusqu'à complet écrasement. Ajoutons 

 (et nous verrons plus loin l'importance de cette remarque) qu'ils ne tien- 

 nent aucun compte des variations de longueur accompagnant les déforma- 

 tions. 



La question de stabilité est d'ordre mécanique, et non pas géométrique ; 

 elle dépend de la façon dont se comporte, dans une déformation élémen- 

 taire, le potentiel des forces tant intérieures qu'extérieures : il s'agit de 

 savoir dans quelles conditions ce potentiel est minimum. C'est la méthode 

 à laquelle j'ai eu recours (') pour étudier le flambement d'une tige recti- 

 ligne; je vais essayer de l'étendre ici au problème de la tige circulaire, en 

 prenant immédiatement le cas, non résolu par Halphen, de la tige à extré- 

 mités fixes. 



Nous définirons la position (f un point quelconque, M, delà fibre moyenne 

 par l'arc x^ compris entre ce point et l'une des extrémités prise pour ori- 

 gine. Dans une déformation infinitésimale, le point M éprouve un dépla- 

 cement MM' dont nous appellerons u la projection sur la tangente, dans le 

 sens des ce croissants, et y la projection sur le prolongement du rayon R. 



Les coordonnées polaires du point M' sont ainsi H -{- y ci — n — Après la 



déformation, Tarer/./; se trouve renq)lacé par un arc f/s. Si y', u' désignent 

 les dérivées dey, u par rapport à ./;, et si l'on néglige les termes du troisième 

 ordre de petitesse par rapport ix y et u, on trouve 



.'2 



/Y y I' Y \ 



(Is - dx r= (^|i + -- + u' + -^ j dx. 



A cette variation de longueur correspond une variation de potentiel (jui 

 se calcule de la manière suivante. Soit dœ\ la longueur de l'arc élémentaire 



(') CoDiples rcndi(S, \. IGl, ii janvier uji."), p. [\'à. 



