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des solutions approchées; en particulier, on ne possède pas une solution rigoureuse, 

 variable quelles que soient les dimensions relatives de la longueur d'onde (quand la 

 source est périodique), du rayon de la sphère, et la forme du contour de la partie 

 conservée. 



C'est cette solution qu'il s'agit d'obtenir sous une forme qui ne laisse plus à faire 

 que le calcul numérique dans chaque cas particulier. 



J'exposerai ici la méthode dans le cas le plus simple; on passe sans diffi- 

 culté au cas de variables nombreuses et de plusieurs fonctions inconnues, 

 comme pour \es problêmes mixtes ('). 



2. Pans un espace ui' que la frontière définie par ç^= o sépare en deux 

 régions, avec c > o à l'extérieur, et r <; o à l'intérieur, je suppose que l'on 



connaisse les deux suites complètes de fonctions ^^o_... 9„ , et «po^..- 9«+..-, 



les unes valables à l'intérieur (indice — ), les autres valables à l'extérieui 

 de la frontière (indice -f-), se réduisant à la même forme ©^...o,,, sur la 

 frontière (v == o); elles permettent de représenter sans ambiguïté, par une 

 série convergente, une fonction arbitraire y(w) donnée sur la frontière, et 

 de satisfaire dans toiit l'espace aux conditions de continuité et de conver- 

 gence imposées par la nature du problème. 



La suite des dérivées inléi^ieures et celle des dérivées extérieures 



^9„(//, t')= 'K("' *') 



jouit des mêmes propriétés à une seule exception près; lorsqu'on a choisi 

 les 'ji de manière que ç>„_ et <p„+ aient la même valeur sur la frontière, on a 

 pour leurs dérivées, au lieu de l'égalité, la relation 



où les A„ sont des constantes connues. 



On conseive seulement une partie Dj de la frontière, el ï on fait communiquer 

 l'intérieur auec f extérieur par une ou plusieurs ouvertures D,; on cherche la 

 solution continue (ainsi que sa dérivée) à travers les ouvertures, et prenant 

 sur les deux faces, interne et externe, de la frontière conservée Do, des 

 valeurs données, yL(//) elf+(u) pour cp. 



3. Cherchons d'abord une fonction dont les dérivées soient continues 



(') Voir deux Notes aux Comptes rendus, t. 150, 21 février et 7 mars 1910, p. /461 

 et 61 1. 



