6 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



fond avec ce plan horizontal et où, par suite, H s'annule. Les équations (2) 

 et (3) de ma Noie précédente deviennent 



dh d /„ d.li-\ d /„ r/.Â 



iu.-r = -7- K. —j-~ -h -^ K — 7- 



' dt dœ \ dx J dy\ dy 



(•) 



(sur le cont. libre 1) h = o, (sur le cont. paroi Xi ) ^ == ^• 



» L'équation indéfinie n'étant pas linéaire, l'intégration générale de ce 

 système paraît inabordable. Aussi nous bornerons-nous à lui chercher une 

 solution particulière, celle qui exprimera la forme vers laquelle tend la 

 surface libre, s'il lui arrive de se régler comme dans le cas précédent, c'est- 

 à-dire de garder très sensiblement, après une période préparatoire, d'inva- 

 riables rapports entre toutes ses ordonnées h, ensemble décroissantes. 



» IL Prenons pour état initial cette forme limite, que nous appelle- 

 rons A„, censée acquise ainsi par la fonction h au bout d'im certain temps; 

 et, en comptant désormais t à partir de la fin de ce temps choisie comme 

 nouvelle origine, nous aurons pour h le produit, h^T, de A„, fonction de x et 

 de y, par une fonction, T, à valeur initiale i, du temps t seul. Or l'équation 

 indéfinie ci-dessus, divisée par ^Th, c'est-à-dire par p.T-Ao, devient alors 



1' I 



2 — = — 



T- [j-Z/f 



Ix \ dx ) d.y\ "/ / J 



)) Ses deux membres, indépendants, le premier, de x et dej)^, le second, 

 de ty se réduisent nécessairement à une constante, — 2a. L'on a donc, 

 d'une part, grâce à une intégration immédiate, 



(2) ^-14-a^ ou T==:^-^^, ^' = TTI^' 



et, d'autre part, pour déterminer, avec a, la forme de A^, le système 



\ y \ ri î 



\ (sur le cont. libre 7 ) A„ = o, (sur le cont. paroi 7^, ) -^" = o. 



» Les flux R^ A, ou {Y^h^-~\v, à travers l'unité de longueur de 



coupes verticales quelconques faites dans la nappe, seront tous propor- 

 tionnels à T-. Par suite, le débit Q du seuil ou de la source décroîtra 

 comme l'inverse du carré (i + a^)-. 



» IIL Supposons que, p., K étant constants et la coordonnée y disparais- 



