SÉAXCE DU 6 JUILLET igo3. 7 



sant des équations, le plan de la nappe soit la bande, de longueur indé- 

 finie et de largeur L, comprise entre le seuil rectiligne a? =: o et la crête 

 parallèle o^ = L, thalweg et faîte où l'on aura ainsi, respectivement, /z^ = o 



et -T-^ = o. En vue de simplifier nos équations, posons 



(4) 



■ V 



h„ 3c^KM 



'/■, = 



L ' ^ M 21J.L- 



formulesoù ç, r, seront, pour tenir lieu de o^ et de A,,, une nouvelle variable 

 indépendante et une nouvelle fonction, croissantes toutes deux de zéro à i, 

 où, par conséquent, M est la valeur de /i^ pour ^i? = L et où, enfin, c dé- 

 signe une constante positive, convenablement choisie. Le système (3), 

 dans lequel les dérivées pourront s'indiquer par des accents, deviendra 



( (pour 1 = 0) Ti =: o, (pour 'i= i) -/)' = o et r, = [ . 



» Multiplions l'équation indéfinie par rjTi'c?^ ou par ri «iri ; et intégrons, 

 en tenant compte des conditions relatives à ^ = i. Nous aurons l'équation 

 différentielle première du profil de la surface ; 



(6) rrri'-=c2(i — r/'); d'où -^ = ^ 



Et une deuxième intégration, effectuée, après séparation des variables, à 

 partir de la limite inférieure ^ = o où ■/] s'annule, donnera l'équation finie 

 du même profil : 



(7) ■ '=i=fA- 



» L'abscisse proportionnelle t de la surface libre est donc une certaine 

 intégrale elliptique de l'ordonnée analogue-/]. Enfin, comme E, y) atteignent 

 en même temps leur limite supérieure i, la constante c est, d'après (7), 



» Pour la calculer, posons y, = y^ ; ce qui, transformant l'expression 



de c en ^ / y* (i— y)' Jy, donne l'intégrale eulérienne ^B(|, .}), 



