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de rayon i (plans parallèles comme on sait). Les deux développables A' et l' , 

 engendrées par V et p' lorsque M et m décrivent respectivement une ligne C 

 et son image sphérique, sont homothétiques. 



» La proposition réciproque est vraie. 



» Comme conséquence, les deux développables A' et A'j correspondantes 

 dans deux surfaces S et S, qui ont même représentation sphérique, sont 

 aussi homothétiques. 



)) Le centre I de la sphère D et le centre de la sphère de rayon i, sur 

 laquelle on a pris la représentation sphérique, sont deux points homo- 

 logues dans l'homothétie qui fait correspondre les deux développables A' 

 et S'. 



)) Il résulte de là que, si l'on mène par le point I une parallèle à la nor- 

 male en M à S, et si Ton prend son point de rencontre H avec le plan 

 osculateur P' relatif à ce point M, la longueur IH reste constante lorsque 

 M décrit C. Inversement, on pourrait de cette proposition déduire la pré- 

 cédente. 



» En parlicuher, si la longueur IH (variable avec C en général) est 

 constamment nulle, les plans P' relatifs à tous les points d'une même 

 courbe C passent par le point I. Chaque développable A' est alors un cône. 

 Ce cas particulier est réalisé quand les sphères g coupent la sphère i sous 

 un angle droit. 



» Ces propositions se modifient naturellement lorsque la sphère 1 est 

 remplacée par un plan II, le point I étant alors rejeté à l'infini. A la pro- 

 position ( p) il faut substituer la suivante : 



» (y). Chaque développable S' relative à la représentation sphérique est alors 

 un cône. 



» Mais on sait (/oc. cit.) que cette représentation sphérique particulière 

 convient aux surfaces à lignes de première courbure sphériques. 



» La propriété (y) est donc caractéristique de l'image sphérique des sur- 

 faces à lignes de courbure sphériques dans un système. 



» D'ailleurs, on sait aussi (ihid.) que, si une surface admet des lignes 

 de première courbure sphériques, on peut la regarder comme étant une 

 surface (S), en associant à chaque ligne C une sphère 1 quelconque prise 

 dans un faisceau convenablement choisi. Parmi ces sphères 1 il en existe 

 une pour laquelle l'angle est droit, de sorte que la développable A' est 

 également un cône. 



)) Le cas où la développable (^' est un cylindre et où, par suite, toutes les 

 développables A' relatives aux surfaces admettant celte représentation (T) 



