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établie récemment par M. Miller (^Comptes rendus, février igoS). Mais la 

 démonstration actuelle fournit les équations de 4^, qui s'écrivent en adjoi- 

 gnant à celles de Jl.7r_, (r) prises sous la seconde forme 



c^ = {caf =. {cby = i 



(^cî. Journal de Mathématiques, 1902, p. 267). 



» Si ^ = ^(r: — i), Q est nécessairement 13(2, tt), sauf si 71: = y, auquel 

 cas il y a un seul autre type \'^(7). Les équations de t)(2, 7:) s'écrivent en 

 adjoignant à celles de X7r_, (77) les suivantes, cbi-tc = b_i9ca^b^i<i, p par- 

 courant une série de valeurs mod. (t: — i) telles que les équations répon- 

 dant aux valeurs restantes résultent du système. 



» Si TC = 2" — [ = /? et ^ = I , Ç coïncide avec cll<>^( 2"). Si t: = 2" — i = /> 

 el q ■= n, Q Si une forme unique '^{p), sauf si p ^= j, auquel cas (j" peut 

 encore être '0(2, 7). "^(p) est un groupe résoluble contenant normalement 

 Jl,,(2") dont il divise Tholomorphe et a pour équations celles de Xp(i'^) 

 (prises sous la première ou la seconde forme) jointes à c^=i, cac = a'% 

 cb = bc(b =^ b^). 



» 2. Dans aucun groupe transitif 5e de degré tu -f- 2 le diviseur fixant un 

 symbole ne peut être 10(2, x) ni 4^(2, tt). Si ce diviseur est '<^(p), JC est 

 nécessairement le groupe des automorphismes de 4^(2, 2") et ses équations 

 s'écrivent en adjoignant à celles de 4^(2, 2"), d'^ = i, d~*ad = a^ , db = bd^ 

 de = cd. 



» 3. Un groupe d'ordre 7c(7û^ — i) dont un des groupes facteurs 

 est 13(2,77) n'a que trois formes possibles : 4^(2, 77); le produit direct 

 de '0(2, 7:) par un groupe d'ordre 2; U(2, 77) qui est défini par les équa- 



TT— 1 



tions de t)(2, 77) où l'on remplace a ^ =1 par a ^ z=z d ^X. auxquelles on 

 adjoint r/- = i , dbf^ = bl^d^ de =■ cd. 



)) 4. Ainsi se trouve établi, indépendamment de la théorie des carac- 

 tères, ce théorème de M. Frobenius, que les seuls groupes de degré p, 

 ayant /? H- i sous-groupes d'ordre/?, sont 4^(2,5), 13(2, 5), 0(2,7), 

 13(2, II) (^). » 



(^) Je profite de l'occasion pour signaler une inadvertance qui enlève toute valeur 

 à la seconde partie de ma Note du 6 octobre dernier. M. Schur a d'ailleurs publié 

 depuis (^Sitz. Akad. Berl., octobre 1902) une démonstration élémentaire d'un 

 théorème plus général de M. Frobenius. 



