SÉANCE DU 6 JUILLET igoS. 89 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions fondamentales de M . Poincaré 

 et la méthode de Neumann pour une frontière composée de polygones 

 curvilignes. Note de M. S. Zare.mba, présentée par M. Poincaré. 



« Considérons la fonction /(:;) de la variable z définie par l'équation 

 suivante 



» Cela posé, rapportons le plan à un système de coordonnées rectangu- 

 laires, désignons par r la distance de deux points {a, b) et (a?, j) et con- 

 venons d'appeler /^o/e/z/i'e/^ logarithmiques généralisés de simple couche et 

 de double couche, les fonctions déduites des potentiels logarithmiques 

 ordinaires de simple couche et de double couche par la substitution de la 

 fonction /([xr), où p. représente un nombre réel et positif, à la fonction 

 logr. Ces potentiels logarithmiques généralisés seront des intégrales par- 

 ticulières de l'équation 



d"^ a à' a ., 



T^. -t- 1— r — \>-'U = O, 



or- ay- ^ 



intégrales qui, dans la théorie de cette équation, joueront le rôle des poten- 

 tiels logarithmiques ordinaires dans celle de l'équation 



d"^ u d'- u 



» Ces remarques faites, on étendra aisément la théorie que j'ai exposée 

 dans mon Mémoire : Sur V intégration de V équation Au + c,u = o (Journal 

 de Mathématiques pures et appliquées, 1902), et dont j'ai résumé les résul- 

 tats dans ma Note, présentée à l'Académie le 24 juin 1901, au cas de deux 

 variables indépendantes, quitte à y apporter de légères modifications néces- 

 sitées par ce fait qu'un potentiel logarithmique ordinaire de simple couche 

 représente une fonction harmonique qui, en général, n'est pas régulière à 

 l'infini. Il en est ainsi, à condition, cela va sans dire, de maintenir l'hypo- 

 thèse d'après laquelle l'angle formé par les normales élevées à la frontière 

 en deux points quelconques est intérieur au produit d'une constante finie 

 par la distance de ces points. Dans quelle mesure est-il possible d'étendre 

 les théorèmes énoncés dans ma Note du 24 juin 1901 au cas où la frontière 



