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puisse imaginer, d'avec une première forme se conservant, 



aJ. 



consistent dans l'excédent, sur cette première forme A^, d'une autre infini- 

 ment voisine se conservant aussi, et obtenue par une variation infiniment 



petite Ij du paramètre ^- Il vient ainsi, comme écarts ^, l'expression 

 - + n 'S-; ce qui donne e proportionnel à ^ ^^ , - Or, comme cette 



formule a même signe dans toute l'étendue de la nappe, elle constitue bien 

 la solution fondamentale ( ' ). » 



(^) Une généralisation analogue s'étendrait-elle aux autres solutions simples? Il est 

 aisé de voir que non, du moins en général. Car V, fonction de deux variables x et /, 

 ne peut dépendre de la variable unique Ç, que dans l'expression, tout au plus, d'écarts 

 initialement fonctions de t seul, comme, par exemple, quand les deux formes, l'une, 

 se conservant, l'autre, un peu altérable, de la nappe sont de révolution autour de l'axe 

 des z, avec des coefficients K, ij. fonctions de la distance /• à l'axe. 



Effectivement, multiplions par "Ç^ l'équation indéfinie eu V, 



dx \ dx I dy\ dy ) X, 



et retranchons-en le produit, par V, de l'équation indéfinie en t, 

 d f.rdX^\ . d fj^d.^'- 



Il vient, en appelant encore U le quotient de V par Ç- : 



Gela posé, si U varie uniquement avec ^, les deux produits K î:^ -— — —s'écriront 



(n—\ — '' — ; et cette équation (g), développée en y utilisant (/), sera 

 \^ dZ JI2 d{x,y)j 



Or, elle ne devient une équation différentielle en U et ^, dans le genre de (a), que 

 si l'équation ( /) en Ç admet une intégrale première reliant explicitement — (Aj Ç)^ à ^. 

 Par exemple, dans le cas d'une nappe de révolution, où K, [x, ^ dépendent seulement 

 de r=-\/x^--\- y^, cas où l'équation (/) est 



une telle intégrale première ne paraît exister que si l'on a, tout à la fois, [xK/-2 = const. 



