SÉANCE DU l3 JUILLET 1903. Il3 



)) Habiller une surface c'est ramener son élément linéaire à la forme 

 ( I ) ds- = (h.- + <i- -^ 2 F ch. r/? . 



» Soit 

 ( 2 ) ds- = E du- H- 2 F du dv + G di'- , 



un élément linéaire donné; pour le ramener à la forme (i), on voit facile- 

 ment qu'il suffit d'intégrer le système d'équations : 



d^u { iJ } du du ( 12 ) fdu dv du dv\ ^ \ 11 ] dv dv 



(3) 



drLd'^ / I i d'J. d'^ \ y \\d:i. d"^ d[i d'J. 



— O, 



\ \ \ dx d''^ 



d-v \ 22 I di' dv i '2 ) /du dv du dv\ (21 \ du du 



d^ '^ \ 2 ^^^^jaJV^Jï^^^j^/ 2 ilH dp ~^' 



n Considérons alors les deux problèmes suivants : 



» I. Ramener de toutes les façons possibles l'élément linéaire (2) à la 

 Jorme (i). 



» II. Étant donné un élément linéaire : 



ds- = E, du'- ■+- 2Y f du dv -h G, dv- , 



trouver toutes les surfaces qui admettent cet élément linéaire et cherchons dans 

 quels cas ces deux problèmes se ramènent l'un à Vautre. 



» Le problème II dépend de l'intégratiori du système d'équations (Dar- 

 boux, Th. des surf., l. III) : 



/ d'-v 



(4) 



dtd^ 



d-v 



doL d'ii 



(11) d ^ 1 du du 



l 12 ) i d 1 l / du dv 



I I il 2 ()c- ^' 'J \dyi d'^ 

 d y Idv dv 



,"" ^'dTi^^'Wj^.'d^ 



s 22 / 

 ) 2 ( 

 \ 12) 

 \ 2 



» Pour que les deux problèmes soient les mêmes, il suffit que l'on ait 



(5) 



(^) 







I i. 



12 



2 il 



2 (, 



22 



2 

 22 



I 



I I i "^ ( 2 j 



11/ , * ^ 2 

 I il i 2 



— 2 '. = 



_ \ 22 



3 d 



\ 22 



— 2 



12 



i I 



2 du 



logpi' 



i ^^ I + ^ ' ^ ! = i ^^ ! + ) ' ^ ! — - A lo 



I ) 



< 2 il I I 



2 jp' 



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