Il4 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



)) Les équations (5) signifient que les éléments linéaires (2) et (1') se 

 correspondent géodésiquement; on en conclut de suite, d'après les résul- 

 tats de Dini, que l'on peut prendre pour (2) une des trois formes : 



(y) ds- = U'-(du- -+- dv^) surface de révolution, 



(8) ds''=2.{y'u -\-\^)dudv forme de S. Lie, 



(q) ds- -'{u — v) (\}-dii- + V- dv- ) forme de Liouviile, 



et pour (2') les formes correspondantes bien connues. 



» Il suffit alors pour achever le problème de satisfaire aux équations ((3) 

 qui se réduisent à la suivante : 



(i3) al\ = \\,f^\ 



» Considérons d'abord la forme (7). L'équation (i3) est alors u!ie 

 équation différentielle ordinaire qui s'intègre aisément : on trouve, pour 

 l'élément linéaire (10), les quadriques de révolution les plus générales, 



(10') ds: = -7-^- r ■ + \j-av-. 



» L'élément linéaire (7) peut s'écrire sous la forme 



(n'\ ds^ = '—, -y 9' dv^ . 



Si c = o, lélément linéaire (10') convient à un paraboloïde de révolution; 

 par conséquent, on saura habiller de toutes les façons possibles l'élément 

 linéaire 



(n") cis' =—- — ^ — -+^fdv-. 



\ / / (rto- — I)- f 



» Dans le cas général, l'habillage de (7') est un problème équivalent à 

 la déformation de la sphère. 



» Considérons maintenant l'élément linéaire (9); l'équation (i3) est 

 alors une équation fonctionnelle qui s'intègre aisément : on trouve pour (i 2) 

 la forme classique de l'élément linéaire des quadriques et pour (9) 



(9)' 'K^ (7, - Y,) [(«-a)(«-P)(»-j') "~ (r-a)(r-p)(r-j)J" 



Par conséquent l'habillage d'un élément linéaire de la forme (9)' se 

 ramène à la déformation d'une quadrique et inversement. Ceci nous per- 

 met de signaler des éléments linéaires que l'on saura habiller de toutes les 



