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Elle admet deux solutions particulières, en série, de la forme 



(12) U= Ar;« -H B-/i«+-^ 4- €'/]«+''■ 4- Dr,''^' 4- . . ., 



avec coefficients A, B, C, D, ... fonctions de <}. Si l'on pose, en effet, 



(i3) cp(l,<];) = 2l(X-f-H-6), F(>.,t];) = l(2l + 5 + 2J;), 



la substitution d'une telle série (12) dans (1 i) conduit, par l'identification 

 des termes semblables en ti dans les deux membres, d'abord, à prendre 



(i 4) ^(x, d») = o, c'est-à-dire a = soit zéro, soit — i — ^|^, 



et, ensuite, à établir, entre les fonctions A, B, C. ... de ^, le système 

 d'équations différentielles linéaires 



( (p(a 4-3,J;)B = F(a, <i)A — 3iL(i - •J^)A', 



/j5x ,' 9(a + G,tL)C = F(oc+'3,'i)B -3ij;(l - J;)B', 



' (p(a + 9,<];)D- F(^- + 6'f)^^-- 3(Kl-'|)C', 



» Mais celle des deux séries où a = — 1 — ^j; rend indépendant de n le 

 premier terme de l'expression correspondante (8) de e. Par suite, la con- 

 dition, £ ^= o, relative à la limite r, = o, oblige à y annuler A, puis B, C, 

 D, . . . en vertu de (i5); et il ne reste, pour exprimer u, que l'autre série, 

 où a = o. L'on y aura F(oi., <\/^ = o. 



» VI. D'autre part, la relation concernant la seconde limite -/) = i re- 

 vient à annuler, à cette limite, le produit de sji — -n' par la dérivée en v) 

 de la série subsistante. Or le cas particulier, déjà traité, d'une nappe à 

 fond plat où k est infiniment petit, et qu'on retrouverait ici comme cas 

 limite en étudiant la fonction u au voisinage de kx = o, c'est-à-dire 

 de^ =^ T, montre que cette dérivée devient comparable à l'inverse même 

 de \/i — '/i^, à moins qu'on ne réduise la série à un simple polynôme, par 

 l'annulation de tous ses coefficients venant après l'un quelconque d'entre eux. 

 Il faudra donc réduire aussi le système (t5) soit à sa première équation, 

 en posant B = o, soit aux deux premières, en posant C =0, soit aux 

 trois première?, en annulant D, etc. 



» Dans le premier cas, il vient A' = o, ou A = ^^ = const., et la for- 

 mule (8) redonne la solution simple fondamentale (7). 



» Dans le second cas, à traiter pour avoir, comme on sait, l'expression 

 asvmptotique des petits écarts, les deux premières équations (i5) de- 



