SÉANCE DU 20 JUILLET IQoS, l57 



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» Et elles donnent (à un facteur constant près), vu qu'on peut y annuler, 

 pour <i; = o, A en même temps que B, si l'on fait abstraction de la solu- 

 tion simple précédente u = const. (déjà trouvée) : 



» Pour les petites valeurs du produit k^, alors que 6 est à peine infé- 

 rieur à I Ole Xt), les deux coefficients B, A sont très grands, de l'ordre 

 de (i — '}; '^ et, par suite, l'expression (8) de s l'est, elle-même, de 

 l'ordre de (r — J')"'^» comme l'indiquait implicitement la deuxième racine, 

 P'r=z i5, obtenue dans ma dernière Note. Mais, ici'où k n'est pas nul et où 

 (j/ tend vers zéro à mesure que t grandit, B et A finissent par être sensible- 

 ment — 'V' et 77<j'". On voit donc que les écarts 'C"'''^ donnés par (8) 

 s'évanouiront comme ^j;'-, alors que la partie régularisée (T de h est, 

 d'après (4), Z.k^li, ou décroît comme <]/. Ainsi les écarts s'atténueront 

 comme le fait la douzième puissance de la partie, réglée et, par conséquent, 

 incomparablement plus vite que celle-ci. C'est bien dire que la solution 

 régulière est encore stable. 



» VII. Pour la 1^^°"^ solution simple, le dernier coefficient, que j'appel- 

 lerai I, du polynôme (12) résulterait de l'équation 



— =(7, — i) — ~: d ou 1 = 



1 3-1/(1—'^) ^' ^ 'Mi — 't') ' * (,_(>;)('-lM6/+l) 



» Or un calcul simple montre que, dans cette solution spéciale, le 

 coefficient précédant I et, de proche en proche, tous les autres jusqu'à A, 

 sont, aux deux limites ^ = i et ']> = o, des mêmes ordres, soit de gran- 

 deur, soit de petitesse, que I, comme on l'a vu déjà ci-dessus pour A, dans 

 les formules (17). 



» Cette expression particulière de u est donc, quand ;]/ tend vers i , de 

 l'ordre de grandeur de la puissance (/ — i) (6i '+ 1)"'™^ de l'inverse 

 de I — 4' 6t» quand 6 tend vers zéro, de l'ordre de petitesse de la puis- 

 sance (i — i){Gi - i)'^™'' de ^. 



» Ainsi, quoique les coefficients de l'équation indéfinie varient mainte- 

 nant avec le temps t, de véritables solutions simples continuent à exister, 

 encore distinguées les unes des autres par leur rapidité de variation et, en 



