3o6 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



triques avec plusieurs arguments proportionnels, Dorpat, 1893. Voici le pro- 

 blème résolu par M. Bohl : 



» A quelles conditions une fonction iJ;(/) définie pour toutes les valeurs 

 réelles de t est-elle développable en série uniformément convergente 



(1) U^-^ U.^-i- ... ^ U.,+ ... 



dans laquelle u^ est un polynôme entier en 



sin 27v — cos 7.- — ( [x = f , 2 . . . . , w )? 



On peut toujours supposer, bien entendu, qu'entre les nombres 



I I I 



n'existe aucune relation linéaire homogène à coefficients entiers, le cas où 

 il n'en est pas ainsi se ramenant exactement à ce dernier, M. Bohl trouve 

 comme condition nécessaire et suffisante celle-ci : |/(^ + '^)— /(Ol ^^^^^ ^^^^ 

 infiniment petit lorsque — , — ^ • • ■■> — diffèrent infiniment peu de nombres 



entiers. 



M A la forme de la définition près, les fonctions (|/(/) ainsi obtenues sont 

 les fonctions que j'ai appelées quasi-périodiques . J'ignorais entièrement ces 

 recherches de M. Bohl ; je tiens à lui restituer la priorité qui lui est due. 



)) Poursuivant un but un peu différent de celui de M. Bohl j'ai été amené 

 à étudier l'ensemble des périodes a qui, vis-à-vis d'une même fonction 

 quasi-périodique/(:r), peuvent jouer le rôle attribué à a,, a^, . . . , a,„, et 

 j'ai été conduit ainsi à définir exactement Vordre périodique et le corps des 

 périodes attachés à la fonction f(x). Relativement à l'ordre de périodicité, 

 j'ai établi quelques résultats sur les fonctions de fonctions simplement 

 périodiques, notamment le théorème suivant : 



)) Soit F{u^,u.,, . . ., u^j) une fonction des variables m,, w^, . . . , Up, qui n est 



constante par rapport à aucune de ces variables. Si Von remplace u^^u^ Up 



par les fonctions périodiques non constantes u^[jr), u.,(a-), ..., Uj,(^x') dont 

 les périodes respectives af, a^,, . . ., ap sont indépendantes, la jonction quasi- 

 périodique 



/(x) :=Vlu^{x), u.,(a)), ..., iip(x)] 



est exactement d'ordre p. 



