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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions de n variables représentées par 

 des séries de polynômes homogènes. Note de M. H. Dulac, présentée par 

 M. P. Painlevé. 



« La théorie des séries de Ta^^lor et de Mac-La urin à plusieurs variables 

 présente, dès ses débuts, une importante lacune qui a été signalée par plu- 

 sieurs niathématiciens ('). Pour nous borner au cas de deux variables, soit 



(i) Y{x,y)^ "^fn{oo,y)^ 2(^«.o^"+««-.,i^"'"'j+---+«o,/i7") 



une série de polynômes homogènes. Dans les théories classiques, on sépare 

 chaque terme y^^ en ses éléments et l'on considère la série double : 



Si cette série (2) converge absolument pour x = x^, y z=i y^^ elle converge 

 absolument dans le domaine | a? | <^ | ^^ |, [ J | <C Jo» ^^ représente, dans ce 

 domaine, une fonction analytique et holomorphe de x^ y. D'où une suite 

 de conséquences classiques. 



» Mais si on laisse intacts les termes de la série (i), que peut-on dire sur 

 la convergence d'une telle série et sur la fonction qu'elle représente? En 

 particulier, si une série (i) converge uniformément pour toutes les valeurs réelles 

 de x, y suffisamment petites, converge-t-elle pour les valeurs imaginaires et 

 représente-t-elle une fonction analytique de x, y, holomorphe pour a? = o, 



» L'alfirmative paraissait très probable; mais il n'en existait pas de 



(') Voir une Note de M. Painlevé {Comptes rendus, 2" semestre 1899, p. 27). 



(^) En dehors de son intérêt général, la question se pose dans des applications im- 

 purtaiites. Par exemple, dans sa discussion des équations différentielles du premier 

 ordre (théorie des centres), M. Poincaré établit la convergence uniforme d'une certaine 

 série (1) pour x, y réels et petits. Mais la fonction ¥{x, y) ainsi représentée est-elle 

 sûrement holomorphe pour x=:o, y =: o? C'est un point de rigueur qui restait à 

 trancher. En réalité, la démonstration citée de M. Poincaré établit la convergence 

 dans un domaine D bien plus étendu que le domaine réel voisin de l'origine, mais ce 

 domaine D ne comprend pas l'ensemble des valeurs complexes de x et de y voisines 

 de zéro. 



