SÉANCE DU 3 AOUT rgoS. 3o9 



démonstralion rigoureuse. J'ai pu établir cette démonstration : une série 

 dont les termes sont des polynômes homogènes, à un nombre quelconque de 

 variables, définit une fonction holomorphe dans le voisinage de V origine, à 

 condition que cette série soit uniformément convergente dans le domaine D 

 formé par l'ensemble des valeurs des variables réelles et voisines de zéro. Ce 

 théorème reste vrai, même en supposant le domaine D bien moins étendu. 

 Par exemple, la série (i) définit une fonction holomorphe pour x = y = o, 

 si cette série (i) converge uniformément pour x et y coordonnées des dif- 

 férents points d'un arc de courbe (autre qu'une droite passant par l'origine) 

 tracé dans le plan réel xoy. 



» Lemme. — Si un polynôme /(^,, oc.;,, . . ., x^) homogène ou non, de 

 degré au plus égal à n par rapport à chacune des variables, reste inférieur en 

 module à un nombre M, lorsque les affixes des variables x^, x.,^ . ..,x^ occu- 

 pent, chacune dans son plan, toutes les positions possibles, respectif' ement sur 

 des arcs de courbe C, , Co, . . . , G^, /e^ coefficients du polynôme sont inférieurs 

 en module à MV ; \ ne dépend ni des coefficients du polynôme, ni de son 

 degré, et ne dépend que des arcs C^, C., . . ., C^ considérés. 



» Avant d'établir le cas général, je considère les deux cas particuliers 

 suivants : i° un polynôme /(a;), de degré n, reste inférieur en module 

 à M, lorsque x est réel et varie entre o et i ; 2° le module àef{x) reste 

 inférieur à M, quand x décrit un arc de courbe C. 



)) Théorème. — La série F = lj„{x,,x., . ..,x^), dont les termes sont des 

 polynômes homogènes de degré égal à l'indice, définit une fonction holomorphe 

 pour x, = x.,... = x^=o,sila série F est uniformément convergente lorsque, 

 x^ ayant une valeur fixe, les affixes de x,, x.„ . . ., x^^^ occupent, chacune 

 dans son plan, toutes les positions possibles respectivement sur des arcs de 

 coMr6e C,, Ca, . . ., Cy_,. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales de S. Lie. 

 Note de M. N. Saltykow, présentée par M. Appell. 



« Les considérations que j'ai l'honneur de présenter à l'Académie con- 

 cernent les critiques sur les intégrales de S. Lie. Soient les 2/i -h i variables 

 x,,x.„ ..., x,„z,p^,p.„ ...,jD„ vérifiant la relation différentielle 

 (i) dz=p^dxt+p.dx., + . ..-h pndx,^, 



liées par une équation 



(2) ¥{X^,X.^, ...,X,„Z,p^,p.„ . . .,p,t) — <1) 



C. R , 1903, 2' Semestre. (T. CXXXVll, N» 5.) 4' 



