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3lO ACADÉMIE DES SCIENCES. 



la dérivée y- ne s'annulant pas. S. Lie définit l'intég^rale de l'équation (2), 



comme un système des /^ + i équations identifiant les égalités (i) et (2). 

 L'intégrale contenant /^ constantes arbitraires, dont l'élimination des équit- 

 tions la représentant ne donne que l'équation (2), est dite son intégrale 

 complète. Par conséquent, d'après S. Lie, le système 



h^, b.^, . . ., /;„ étant n constantes arbitraires, représente une intégrale com- 

 plète que nous dirons de classe q. Les n équations quelconques du sys- 

 tème (3^ étant résolubles par rapport à h^, b^, . . ., b^, il suffit de supposer, 

 par exemple, que le déterminant fonctionnel 



p / ?' ?1> ?2> • • • , yy> <j^2> 4^3> • • • > 'K- 



est distinct de zéro, en y désignant 



i = \ 



» Par conséquent, l'intégrale (3) peut être mise sous la forme implicite 

 suivante : 



(4) ^ (r=i,2, ..., n). 



{ i rV^i> ^2' • • • ' ^«' ^■■> Pli P^^ • • •■> Pn) — ^r 



)> Comme l'intégrale étudiée est de classe q, il est nécessaire que le déter- 

 minant fonctionnel 



F, F,, Fj, . . ., F,; 



D 



^1 Pli P21 • • • 1 pu 



s'annule identiquement, ainsi que tous ses mineurs depuis le premier ordre 

 jusqu'à Tordre q inclusivement. De plus, le système (3) étant complet, il 

 s'ensuit que les équations (4) forment aussi un système complet. Ces deux 

 dernières propriétés des équations (4) sont non seulement nécessaires, 

 mais aussi suffisantes pour définir une intégrale complète de classe q. 

 )) Il en résulte, en écrivant l'équation (2) sous la forme suivante 



