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» Or, il est ici nécessaire de constater le fait que la priorité de traiter 

 des intégrales en question revient à J. Liouville, qui a démontré l'impor- 

 tant théorème suivant : 



)) Etant données n — i intégrales en ùwolution quelconques du système 

 canonique (2), son intégrale générale s obtient par une quadrature. 



» Effectivement, dans son article : Note sur l'intégration des équations 

 différentielles de la Dynamique présentée au Bureau des Longitudes le 

 if^juin i853 {Journal de Liouville, t. XX, i855, p. iSy), en donnant les 

 formules relatives aux intégrales (3) résolubles par rapport à /Jo, /?3, ...,pn^ 

 J. Liouville annonce que, dans ses Leçons au Collège de France, il a donné 

 de longs développements sur la même question pour le cas où la der- 

 nière condition n'était plus satisfaite. Ce point important est étudié dans la 

 Thèse de A. Lafon : Sur V intégration des équations différentielles de la Méca- 

 nique; Paris, 1854. Les résultats en question s'interprètent aisément 

 comme il suit : Les équations (3) étant résolubles par rapport à/?o, p^, ..., 

 Vn-q^ ^n-q+\y ■•, ^«, mcttons le système (2) sous la forme d'un nouveau 

 système canonique 



(4) 



dPk ^ _ dW cLvn-g-^-i _ _ ^H , . _ 



d-^y àoTk' dx, ~ 0{-p„-ç^,) <.^ - '' 2, ..., q). 



» En vertu des équations (3), formant de même un système des inté- 

 grales en involution par rapport au système (4), la relation 



dz' = p, dx,-^... -]rpn-q dx^^^ - x,,^^^, dp^_^^, —_,— x,^ dp^ 



est une différentielle exacte, dont l'intégrale s'obtient par une quadrature 



z'=Y{x,, x.„ ..., a7„_,/, /j„_y^, , ...,/j„, Z>,, Z>2. ..., b„_,) + b^. 



pour tous les indices k, l de i k n — q. lien résulte donc immédiatement que l'intégrale 



n-r, 



/. = i 



6„ étant une constante arbitraire, jointe aux équations (3), définit l'intégrale com- 

 plète de S. Lie en question. 



