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OÙ £ peut être pris aussi petit qu'on veut dès que m est assez grand et p fini. 

 Pour k = o, 9, (ct) est une fonction entière d'ordre fini p ; pour k^ \, cp, {oc) 

 est une fonction entière à'ordre zéro (au sens de M. Borel). 



» Avec cette notation, la catégorie des fonctions entières d'ordre zéro 

 apparaît comme aussi étendue que celle des fonctions entières d'ordre fini 

 ou infini. Nous avons essayé d'en esquisser une classification. 



» Posons 



» Définilion. ~ 1° Soit k ^=^ 1. Si l'on a, quel que soit | a? | = r, 



M,<E(r, r,p+£), 



M^ étant le maximum du module d'une fonction entière 9(^) pour \oc | = r, 

 et e tendant vers zéro quand r croît indéfiniment, et si, pour une infinité 

 de valeurs de r indéfiniment croissantes 



M, = E(7-, i,p-6,) 



(e, analogue à e), nous dirons que <p(a;) est d'ordre (o, i, p). 

 » 2° Soit ^ ^ I . Si l'on a, quel que soit \x\ =: r, 



M,< £(/-,)?•, p -h e) 



pour une valeur finie de p; et si, pour une infinité de valeurs de r indéfi- 

 niment croissantes, 



M^>E(/-,^-, p- £,), 



nous dirons que 9(^7) est d'indice k. 



» En suivant la même marche que pour les fonctions entières d'ordre 

 fini ou infini non transfini, nous avons obtenu les résultats suivants : 



» I. La série 



(2) (S^{x) =^a,nX"\ 







ow, dés que m dépasse une certaine limite jx finie, les termes sont tels que 



(3) \a„,\Se ^P ^ 

 a son module au plus égal à 



