SÉANCE DU T7 AOUT igoS. 4o9 



» Ayant complété depuis en certains points mes résultats, je me permets 

 d'en donner ici un court résumé. 



)) Soient n variables réelles ;,, '^a, ..., l,, assujetties à appartenir à un 

 domaine E, borné, parfait et mesurable; soit/ (;,, ;,, ...,^«) une fonction 

 réelle de E,, ^o, ..-, l„ ayant une valeur bien déterminée pour tout point 

 (E,, ..., l„) à l'intérieur de E et qui est bornée et intégrable pour tout 

 domaine parfait et mesurable E' intérieur à E et sans point commun avec 

 sa frontière. Supposons, de plus, l'existence de l'intégrale définie généra- 

 lisée Se/(Co Eo, ..., In) de i\2in^\Q sens de M. Jordan ('). 



» Gela posé, soient /i autres variables réelles 7.^, a., ..., a„ assujetties à 

 recevoir toutes les valeurs réelles possibles et désignons par D le domaine 

 infiniment grand constitué par tous les points (a,, a., ..., a„); D sera, en 

 d'autres termes, l'espace à n dimensions. Désignons ensuite par DE le 

 domaine à 2/z dimensions constitué par l'ensemble des valeurs de a,, a,, 

 7.3, ...,a„, E,, Eo, ..., In- Enfin, soit r une quantité non négative, définie 



par la relation 



r- = a^ + a^ + ... + se";. 



» Cela posé, j'ai démontré d'abord que l'existence de l'intégrale définie 

 généralisée Se/(^,, l,,---, ln)de entraîne l'existence de l'intégrale définie 

 générafisée suivante, que l'on peut appeler une intégrale de Fourier- 

 Cauchy (-) : 



S„.e-^-^'"V°'.'^.-^-.)' . . .6A/:?«-^«"/(?, , E„ . . ., In) de. 



(271)' 



k étant un paramètre réel ou complexe tel que la partie réelle de k- soit 

 positive et x,, x._, ..., x,, ayant des valeurs réelles ou complexes finies 

 quelconques. 



» Dans chaque domaine K, situé dans la partie du plan de la variable 

 complexe k, où k' a sa partie réelle positive, l'intégrale existe et représente 

 une fonction analytique régulière de ^'. Considérons le cas où le domaine R 

 est situé à droite de l'axe imaginaire et appelons l{k) la fonction analy- 

 tique de k reprébcntée par l'hitégrale. 



), J'ai démontré alors que cette fonction analytique I(^) est une fonction 



entière transcendante (ou un polynôme) de ), et que, pour toute valeur de k 



(1) Cours d'Analyse, t. I el II. 



(2) Voir le Mémoire de Cauchy précédemment cité, p. 5i2, etc. 



C. R., 1903, 2« Semestre. (T. CXXXVII, N» 7.) ^ 



