4lO ACADÉMIE DES SCIENCES. 



différente de zéro, I(^) est une fonction entière transcendante (ou un poly- 

 nôme) de chacune des variables .^,, x.^^ . .., £r„. 

 » Au lieu de l'intégrale de Fourier 



(271)'' 



que l'on obtient en faisant ^• = o dans l'intégrale de Fourier-Gauchy et dont 

 l'existence n'est nullement supposée ici, nous considérerons cette fonction 

 analytique !(/") qui rend dans les applications les mêmes services que l'in- 

 tégrale de Fourier. 



» Gela posé, faisons tendre k vers zéro par valeurs positives. J'ai établi 

 alors avec toute rigueur la propriété suivante, indiquée par Gauchy (') 

 sans démonstration suffisante : 



» i*' Si le point E, = cT,, ;o = ^fo, . . ., E„ = .t,^ est à l'extérieur de E, on 

 aura 



limI(/^) = o; 



A-=o 



» 2" Si, au contraire, ce point est à l'intérieur de E et si de plus la 

 fonction /(^, , Eo, . . . , H„) est continue en ce point, on aura 



\'\ml{k)=f{x^,x.„...,x„). 



» Cependant, je viens de voir qu'd y a encore des cas très étendus où 1 (k) 

 admet une limite; en effet, j'ai réussi à établir un'théorème qui comprend 

 comme cas particulier les cas i" et 2°. 



» Introduisons à cet effet la notation de valeur moyenne sphérique 

 de/(E,, ^2> •••' D au point a7,,a;2, ...,x,^). Soit s' une hypersphère de 

 centre {x^, . . . , x^) et de rayon e, défmie par l'inégalité 



et soit F (^,, ^2» ••»' ^«) une fonction égale à/(E,, l^, ..., ;^) si le point 

 (^,, ^2» • • • » ^«) est à l'intérieur de E et égale à zéro si ce point est à l'ex- 

 térieur ou sur la frontière de E. Cela posé, Texistence de l'intégrale définie 

 généralisée Se /(^,, ^2. • • • » ^«)«^e entraîne l'existence de l'intégrale définie 

 généralisée SiF(E4, I2, •••» In) (^e pour tout point (x^, ..., x,^) appartc- 

 nantà Eounon. Comme, d'autre part, l'intégrale S^f/e représente l'étendue 



(') Loc. cit., p. 5i4-5i6. 



