SÉANCE DU 24 AOUT 1903. 



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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le problème de S. Lie. 

 Noie de M. N. Saltvkow. 



« Considérons le système de q équations en involution 



(i) M^,,x,, . . ., .r„ p, , p,, . . ., Pn) = (X: = T , 2 q), 



, et le déter- 



p,,p,,...,p,, désignant les dérivées partielles ^,^, '"'d^, 

 minant fonctionnel 



étant distinct de zéro. Supposons cpio le svslème linéaire complet 



(2) (ÂJ) = ^ i^k = i,'2,...,q) 

 admette r intégrales di-l!nclcs 



(3) /.v/;,..../;./..-...^/. (r<'2n-q), 



telles que les parenthèses de Poisson formées de chaque paire de ces der- 

 nières ne donnent plus de nouvelles intégrales du système (2). Les r - 7 

 dernières intégrales (3) n'étant pas en involut.on, S. Lie a donne une 

 méthode pour^achever Tmlégration des équations (2) et (i) (')• Nous 

 allons la présenter comme une généralisation de la théorie des équations 

 canoniques. Commençons i)ar chercher des fonctions d»,, $,, . . . des quan- 

 tités/,,/,, ..., /r. en involution avec ces dernières. En désignant par a,-, 

 les parenthèses (/,,„/^,), formons le déterminant 



A = 



a, 

 a., 



i,r-q 



7..>.> 



a... 



■2,r' q 



'-r q,r-q 



'■r-q,i -'•r q,-2 



S'il est nul, ainsi que tons ses mineurs depuis le premier ordre jusqu'à 

 l'ordre a - 1 , le nombre des fonctions a> est f^.. Par conséquent, notre pro- 



(') S. Lie, Math. Ann.. Bd. VIll, p. 27.3; Bel. XI, p. ^64- 



