434 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



blême revient à intégrer le système linéaire complet formé par les équa- 

 tions (2) et les suivantes 



(4) (0„/) = O (i=zl,2, ...,|7.). 



)> Or comme on le sait, sans connaître les fonctions <!>,, on forme sans 

 difficulté un système équivalent à (4)- De plus, le nombre r — q — u. élant 

 pair('), que nous désignerons par 2p, on parvient, par des intégrations 

 successives, à un système complet des 7^ — p équations 



(5) (/a'/) = o {k = i,i,...,q), B,(/) = o («=r,2,...,/i-^-p), 

 admettant un système complet des n + p intégrales indépendantes 



\^^ yi' /a» •••• /y ./y^i' •••> Jri Jr+ ■> fn+.ç 



que l'on obtient, dans le cas le moins favorable, par un nombre des 

 n — q — [j. — ç opérations d'intégration d'ordre 



2/i — 2^ — 2[X — 2p, 2// — 2^ — 2|X — - 20 — 2, . . ., 4, 2. 



» Enfin, on obtient par une quadrature l'intégrale 



v 7 / *"■ ./»+p-4-) ♦ 



formant avec les équations (6) le système complet des intégrales du sys- 

 tème remplaçant le système (5), quand on considère / comme fonction 

 des variables x, p et z, les parenthèses de Poisson étant remplacées par 

 celles de Weiler. 



» Les fonctions étant inconnues, nous résumons dans le seul 

 théorème suivant toutes les considérations compliquées de S. Lie, relatives 

 à l'intégration du système (2) : 



)) Soient les équations (5) résolubles par rapport à -f^, -—<> ■ -, * - 



En égalant les fonctions {Ç)) et (j) à des constantes arbitraires b^ib^, ..., ^„+p^, , 



(') Pour le démontrer, S. Lie introduit sa tliéorie de groupes. Or celte conclusion 

 devient évidente, en remarquant ([u'un déLerminant gauche symétrique peut ne pas 

 s'annuler s'il n'est d'un ordre pair. 



