SÉANCE DU 24 AOUT igoS. 435 



on en tire 



o{œ^, .ro. ...,£r„_p, b^, h.,, ..., f^j,+p) -^ fhi+ç,\-n 



le déterminant fonctionnel 



j)/'9i> ?2, •.., 'fp, jvj^ 



bf, h.2i ... ; . . . , t;„+p 

 ^'/«/// distinct de zéro. Cela posé, parmi les n — q ^ ^ équations 



(9) 1-2^+»-.-=". (» = ?^'.? + ^ « + ?)• 



1 = 1 



/f^ «, étant des constantes arbitraires, U existe un système de n — q — ^ équa- 

 tions distinctes résolubles par rapport à x^^,, x^^.^ ^„-p. l^es résultats 



d'élimination de leurs premiers membres des valeurs b^, b.^, .. ., ^„+p repré- 

 sentent les intégrales requises du système (2). 



)) La démonstration de ce dernier théorème se fait d'une manière ana- 

 logue, comme dans la première méthode de Jacobi. 



» Enfin, le système complet des intégrales des équations (2) étant 

 connu, l'intégrale complète du système (i) s'obtient sans difficulté. 



» Le théorème énoncé présente un résultat très important, dont S. Lie 

 a enrichi la théorie des équations étudiées, en indiquant en même temps 

 un cas très général, quand l'intégration du système (2) s'achève par une 

 quadraturer.En effet, il est aisé de formuler le théorème suivant : 



), Le système (2) admettant n -\- ^{^ <n - q) intégrales (6), telles que le 

 déterminant correspondant A s annule, ainsi que tous ses mineurs depuis le 

 premier ordre jusqu'à r ordre /i — y - f - i, l'intégration des équations (2) 

 s'achève par une quadrature. 



» Le théorème de Liouville généralisé (Comptes rendus du 24 juillet 1899 : 

 Sur la théorie des équations aux dérivées partielles) ne présente qu'un cas 

 particulier de ce dernier théorème correspondant à p = o; car, dans ce 

 cas, le nombre des intégrales connues se réduisant à n, et tous les mineurs 

 de A s'annulaut, il s'ensuit que les intégrales données sont en involution. » 



