SÉANCE DU I 'i, SEPTEMBRE I()o3. 467 



» Considérons, en effet, le svslème d'équations. aux différences 



^Xi = Yi{t^, X^, X.-,, .. :, OCn) (ï = ï , 2, , . . , n), 



et supposons que la solution générale de ce svsfème a:,, . . ., x^ s'exprime 

 d'une manière déterminée, toujours la même, par m solutions particulières 



(0 <' ^,;,... ;<-,...,<' 



et n constantes arbitraires a par des formules 



x, = o.(x':\..,,x':'; ...,<'\ ...,<"'; a a„) (« = 1,2 n) 



qui subsistent lorsqu'on y remplace les solutions (t) par m autres solutions 

 particulières irréductibles quelconcjues. 



» Il est clair que l'on peut démontrer, d'une manière analogue à celle 

 employée dans le cas des équations différentielles, que la solution générale 

 d'un tel système est définie par les équations d'un groupe 



^i = f(^ ^«; « ^««) 



où les variables e sont remplacées par les constantes d'intégration, et les 

 paramètres a par des fonctions de la variable indépendante t. De plus, ce 

 groupe est m fois transitif; on en conclut, d'après un théorème connu de 

 Sophus Lie, que m ne peut surpasser n -h 2. 



)) Dans le cas ^ =: i on aura les trois types d'équations : 



» L'équation aux différences 



Ax = P(t)x, 



dont l'intégrale complète est 



x=f(l)a; 



)) L'équation aux différences 



Ax = V(t).v-^q{t), 

 dont l'intégrale complète est 



X = f(l)a -h o(^); 

 » L'équation aux différences 



Ax-{-V{t)(xAx-^x-) -+-q(t)x -+-R(0 = O' 

 dont l'intégrale complète est 



X = ^ — ^ • » 



^l{t)a-\-o{t) 



