SÉANCE DU 21 SEPTEMBRE igoS. 4-79 



Ceci s'élend de suite aux fonctions monodromes, aux environs d'un point 

 critique isolé. 



» II. L'équation différentielle 



OÙ A, , . . ., k^^^ sont des polynômes en x à coefficients rationnels, possède 

 X; intégrales indépendantes qui sont des fonctions entières d'ordre ^ r ou 



A.' 



des polynômes. 



» III. Considérons le système 



dxx 



clt 



Cl i^^OC ^ -\r ...-+- f(f , ,j X 1^ , 





ona^^, ..., a^n sont des fonctions quasi-entières aux environs d'un point 

 singulier essentiel isolé commun que nous pouvons supposer être t =cc. 



» Si ces fonctions (') a^^, ..., a„„ sont d'ordre au plus égal à celui 

 de e^^^ {\tf) pour / = oo, x^, ..., x,^ sont d'ordre de grandeur au plus égal 

 à celui de e^n 2(| tf'^^) (s positif, fini, aussi petit que l'on veut) pour t = ce. 



» Si, en particulier, a^^, .. ., a,„i, sont des polynômes de degré au plus 

 égal à zj, ou égales à un polynôme + un terme monodrome et fini pour 

 t = co, on peut trouver un nombre 1 positif tel que j^, [,..., (a7„ | soient 

 d'ordre au plus égal à e^i^'"'^'. 



j> IV. Toute fonction cp quasi-entière pour / = co solution (plus généra- 

 lement toute solution) d'une équation différentielle linéaire homogène, 

 dont les coefficients sont des fonctions quasi-entières pour ^ = co d'ordre 

 non transfini (yi-, p), est d'ordre au plus égal à (^• 4-i, p) ou à e/^^.^(\ ^f |^'^^)- Si 

 l'équation différentielle a pour coefficients des polynômes, 9 est d'ordre 

 fini. De môme, pour les solutions de la forme x^ w„, où "X = constante et Wo 

 fonction quasi-entière pour l =. co, 



» Dans le cas où les coefficients des équations différentielles de III et IV 

 sont des fonctions méromorphes ayant le point singulier essentiel isolé 

 / := co commun, les mêmes propriétés restent vraies en dehoj's de cercles 



(*) Noire procédé de démonsLralion est une extension d'une méthode de M, Liapou- 

 noir (Picard, Analyse, t. III, p. 862). 



