5l2 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



OÙ D^"^ dénote l'opération plus générale 



(!"■ 



A, 



d'^- 



d 



'« dx^' "" ""' dx"-^ -T-. . . ^ -„-, ^^^^ + A„, 



les coefficients A„, A,, . . . , A„ étant des fonctions de x. 



» Par un calcul tout semblable à celui employé dans ladite Note, on 

 amènera le problème à l'intégration d'une équation 



(3) Df'"n' = -G(P+/(a-). 



» Soient, encore, G,, Go, ... , G,„ les racines de l'équation 



(4) 



G + «„,_..G- — . . .±G'"=o; 



soit, aussi, \}v\^ la solution générale de (3) pour G =: G;.. On s'assurera, 

 comme dans la Note précédente, que dans le cas de m racines distinctes 

 la solution générale de l'équation proposée est de la forme 



(5) 



y = y^^kW\i 



A = l 



» D'ailleurs, les coefficients hj^ sont donnés par les formules 





A = 



» Dans le cas de racines multiples la formule doit être modifiée. La 

 solution générale de l'équation proposée est alors une fonction linéaire des 

 intégrales [w]^^ et de leurs dérivées par rapport aux racines de (4). Par 

 exemple, si 6j= Gj_, = . . . = G,, on aura 



/— 1 



(6) r = 2<-.^+2:c;[H. 



e = A = (4-1 



» Comme les constantes arbitraires dans les fonctions [w],, ,^ > 

 ■ — W^> '•• sont indépendantes, on voit bien que l'expression (6) contient 



Ci'} j 



mn constantes arbitraires; c'est donc la solution générale de l'équation 

 proposée, » 



