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» 2. Il étsiit essentiel d'approfondir la question plus que je ne l'avais 

 fait précédemment; j'indiquerai ici la marche suivie dans le fascicule qui va 

 bientôt paraître du Tome H de ma Théorie des fondions algébriques de deux 

 variables. Dans l'identité ci-dessus, on peut faire disparaître les lignes d'in- 

 fini inconnues de A et B et les remplacer par un nombre déterminé de lignes 

 d'infmi. D'après un théorème fondamental que j'ai établi antérieurement, 

 on peut tracer sur la surface p — i courbes algébriques particulières 



C, , \j.y , . . • , VJ 



telles qu'il existe une intégrale de différentielle totale de troisième espèce 

 ayant seulement pour courbes logarithmiques une autre courbe algébrique 

 arbitrairement choisie et la totalité ou une partie des courbes C,, C., . . ., 

 Cp_^ et de la courbe à l'infuii de la surface; de plus cette intégrale n'aura 

 aucune autre ligne d'infini en dehors de lignes du type j = const. 

 » Ceci posé, désignons par 



g^{x,y) = o, ..., g^_^{x,y) = o 



les projections des p — i courbes C sur le plan des xy. On peut alors 

 démontrer que si 



Q 



n 



peut se mettre sous la forme (i), on ne diminue p is la généralité en suppo- 

 sant que A e/ B sont de la forme 



oîi M et N sont des polynômes en x et z, à coefficients rationnels en y, 

 s'annulant sur la courbe double; pour y arbitraire, les quotients 



M N 



— et — 



deviennent infinis seulement, à distance finie, sur la courbe C,. Nous avons 

 ainsi éliminé toute courbe d'infini de A et B en dehors des courbes déter- 

 minées C^, ..., Cp_, (en laissant de coté bien entendu les courbes du type 

 Y = const.). 



» 3. La recherche théorique du nombre des intégrales doubles de 

 seconde espèce ne présente plus maujtenant de difficulté essentielle. Ce 

 problème se ramène à reconnaître si, pour un polynôme Q en x, y et z 



