SÉANCE DU T2 OCTOBRE igoS. Ô43 



dont le degré est limité, on a 



Tz ^-^ ^y 



» Prenons d'abord le cas le plus simple où p = i. Alors A et B sont de 

 la forme 



A = ^r . B- ^, . 



M et N étant des polynômes en ^ et z, à coefficients rationnels en 7, s'an- 

 nulant sur la courbe double. 



» Considérons maintenant la courbe entre x et :; 



/(a;,j,s) = o, 



renfermant le paramètre y. Nous pouvons former, par des opérations 

 rationnelles en 7, un système d'intégrales abéliennes relatives à celle 

 courbe : 



Ç\,dx, ..., fhpdx, j'].,dx, ..., J Indx; 



les 2/j premières forment un système d'intégrales distinctes de seconde 

 espèce, et l'intégrale 



est une intégrale de troisième espèce, ayant comme seuls points singuliers 

 logarithmiques les points à rinfmi O, et O,, avec les périodes logarilb- 

 fniq^ies +1 et — 1 (nous désignons par O,, O., ..., 0,„ les m points à 

 rinfmi de la courbe, qui sont distincts au point de vue de la rationalité par 

 rapport à y). Les I et les J sont rationnels en a?, y et z. 



» On démontre que l'on peut supposer que B est de la forme 



les a et les c étant des fonctions rationnelles de y. Nous avons maintenant 

 à écrire que 



(2) /■; Oy 



est la dérivée par rapport à x d'une fonction rationnelle de x, y et z. En 

 exprimant ce fait, on trouve ip + m -i relations linéaires entre 



