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et leurs dérivées premières; aucune irrationalité par rapport à j ne s'in- 

 troduit, et ces relations contiennent rationnellement/. Il est alors aisé de 

 montrer que, si l'on peut satisfaire à ce système de 2/? H- m — i équations 

 différentielles linéaires à coefficients rationnels en y entre les a et les c, 



on pourra mettre — sous la forme demandée. Or c'est là un problème 

 élémentaire ('). 



» 4. Dans le cas où p est quelconque, la solution repose sur une analyse 

 analogue. Aux fonctions rationnelles I et J, il faut en adjoindre d'autres 

 se rapportant à chacune des courbes C. On forme une intégrale abélienne 



I H^f/œ (H/ rationnelle en j:-, j et ^) 



relative à la courbe entre x et z-, /(ay, y, z) = o, qui a pour points singu- 

 liers logarithmiques le point à l'infini 0< et les points de la courbe C, ayant 

 la valeur considérée du paramètre y, avec les périodes logarithmiques + i 

 en ces points et —d^ en O, {d^ étant le degré de C,). On montre alors que 

 l'on peut mettre B sous la forme 



B=:a,l,4-. . .4-a,^,L^+yJ,+. . . + y^J^,^ 4- -^, H, +. . . -f- '/ip_, H 



p-o 



les a et les y étant des fonctions rationnelles de y et les yi des constantes. 



» On écrit alors, Bayant cette nouvelle valeur, que la différence (2) 

 est la dérivée par rapport à x d'une fonction rationnelle de x, y el z. Ceci 

 nous donne 2p-+-m — î relations linéaires entre les a, les y, leurs dérivées 

 premières et les constantes -/i. 



» Le problème est donc ramené à reconnaître si l'on peut déterminer 

 les constantes n, de manière que les équations différentielles linéaires pré- 

 cédentes puissent être vérifiées par des fonctions rationnelles de j, pro- 

 blème ne présentant aucune difficulté théorique. 



M En résumé, quand on connaît un système de courbes C, il est possible 

 de reconnaître si une identité de la forme (i) est possible, et par suite de 

 dénombre/^ les intégrales distinctes de seconde espèce. 



(') Il n'est pas sans intérêt de remarquer que le problème que nous venons de traiter 

 généralise le problème fondamental relatif à l'existence des intégrales de différentielles 

 totales de seconde espèce (transcendantes). Dans ce problème, Q est nul, ainsi que 

 les c; en suivant la méthode du texte, on forme immédiatement le système d'équations 

 différentielles donnant les a, d'une manière plus rapide qu'à la page i65 du Tome I de 

 ma Théorie des /onctions cdgébriques de deux variables. 



