SÉANCE DU I^i OCTOBRE igoS. §4^ 



» 5. Ajoutons quelques remarques importantes. On peut, à chaque 



courbe C^, faire correspondre une expression y?> où Qj est un polynôme 



en X, y, z susceptible de la forme indiquée. De plus, aucune combinaison 

 linéaire à coefficients constants 



ne peut se mettre sous la forme 



U et V étant des polynômes en x et z-, à coefficients rationnels en j. Enfin 

 toute expression -jr> susceptible de la forme (i), peut s'écrire 



AtQi4-...4-Ap_iQp_, à /U\ à fV'' 



■ 4-Ap_iyp_, à /u\ à__fy_\ 



les A étant des constantes, U et V ayant la signification ci-dessus. 



» Toules les considérations que nous venons de développer sont utili- 

 sables, quand on a pu déterminer un système de courbes C. Elles sont 

 numériquement applicables à une surface donnée, mais on comprend 

 qu'elles ne permettent guère d'énoncer sur le nombre p^ des intégrales 

 doubles distinctes de seconde espèce des propositions générales. C'est en 

 les combinant avec l'étude des périodes de certaines intégrales doubles 

 que je suis arrivé, après bien des efforts, à obtenir quelques lois générales 

 que j'indiquerai dans la prochaine séance. Arrêtons- nous seulement 

 aujourd'hui sur des cas particuliers très simples, qui nous donneront cepen- 

 dant l'occasion de faire une remarque générale sur le nombre Oj,. 



» 6. Nous avons déjà eu l'occasion d'utiliser la facilité avec laquelle 

 s'appliquent nos théories générales aux surfaces dont l'équation est de la 

 forme 



» A la vérité, elles ne rentrent pas dans la catégorie des surfaces à sin- 

 gularités ordinaires, mais cependant, avec peu de modifications, les théo- 

 rèmes généraux trouvent leur ajjplication. Il y a en particulier, pour ces 

 surfaces, un nombre p qui a une assez grande analogie avec la lettre 

 désignée plus haut de la même manière (voir, en particulier, Annales de 

 l 'Ecole Normale, 1901 et 1903). 



