546 . ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Si, pour la surface (3), le nombre p est nul, toute expression de la 

 forme 



(P polynôme en oo et y), 



P(^,.r) 



susceptible de la forme j — I- y-' peut s'écrire 



M et N étant des polynômes en a-, à coefficients rationnels en y. 

 » Prenons, en particulier, les surfaces 



où. f(x) et F (7) sont des polynômes arbitraires de degrés 2/7 -f-1 et2.q-hi. 

 Sous cette condition que les polynômes précédents ne présentent pas de 

 particularités spéciales, on peut démontrer que l'on a pour la surface pré- 

 cédente p = o, et l'on en déduit que le nombre po des intégrales doubles 

 distinctes de seconde espèce est donné par la formule 



» 7. Le résultat précédent peut être inexact dans certains cas parti- 

 culiers. Supposons que /(^) et F(j) soient du troisième degré. On aura 

 bien po = 4> s'il est impossible de satisfaire à l'équation 



^^ = C - •• (C étant une constante convenable) 



v/7(^) v/F(r) 



en prenant pour x une fonction rationnelle de j (ne se réduisant pas à 

 une constante); mais, dans d'autres cas, il n'en sera pas de même. Par 

 exemple, si les deux polynômes /et F sont identiques, le nombre p n'est 

 plus nul, et l'on démontre que 



po ^= ^» 



pourvu toutefois que les fonctions elliptiques correspondant au polynôme 

 du troisième degré /(a?) n'admettent pas la multiplication complexe. 



» Les conclusions sont encore différentes si nous sommes dans un cas 

 de multiplication complexe. La valeur du nombre a changé et cette mo- 

 dification a sa répercussion sur la valeur de p^. On trouve alors 



