556 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» On a donc dans cette hypothèso a^ 2 



1 



/•= » 



lim e-'^ I E^{x) \ = o, x =^ re'^"" (o < Ô< i). 



)) La fonction 



Ea(^) (a>2) 



partage avec sin^r la propriété bien connue que son module augmente, au 

 delà de toute limite, en même temps que \x\, quand x va vers l'infini le 

 longd'un vecteur quelconque, à l'exception à'unseul. On peut se demander 

 s'il existe des fonctions entières transcendantes dont le module augmente 

 au-dessus de chaque limite en mé.ne temps que \x\, quand x va vers 

 l'infini le long d'un vecteur déterminé quelconque. La réponse est affirma- 

 tive, comme le montre l'exemple suivant : 



qui a été indiqué par M. H. von Kocli et auquel on pourrait ajouter, d'après 



une remarque de lui, 



g{x) ^'^Jx), 



où g(^x) désigne une fonction entière rationnelle. La différence entre une 

 telle fonction entière transcendante et la fonction entière rationnelle peut 

 être caractérisée comme il suit : la seconde s'approche de l'infini pour 

 toutes les directions d'une manière uniforme et la première d'une manière 

 non uniforme. 



» Une question plus profonde est la suivante : la fonction Ea(a?) 



(o <I a- <! 2) augmente vers l'infini seulement dans l'angle — a- <;cp<^oc- 



qu'on peut amoindrir autant qu'on veut en diminuant a. Existe-t-il des fonc- 

 tions entières qui ne deviennent infinies que si |a7| augmente le long d'un 

 seul vecteur, mais qui diminuent indéfiniment quand \x\ augmente le long 

 de tous les autres vecteurs? 



)) Un de mes élèves, M. J. Malmquist, vient d'en former un exemple 

 dans la fonction 



S(^)=il r '"'"\ 1 (0<X<I). 



» M. E. Lindelot, en se rattachant à ma Note du 1 mars et en s'appuyant 



