SÉANCE DU 12 OCTOBRE [QoS. 607 



sur un théorème fort remarquable trouvé par lui (Acta Soc. Se. Fenn., 

 l. XXXr, n° 3, p. 29), a formé une autre fonction de la même nature 

 (BulL des Se. math., août igoS). Une autre fonction, semblable à celle de 

 M. LindelôF, est la suivante : 



n Les fonctions Ë;(^) et ^^(a?) s'approchent en réalité indéfiniment 

 de zéro quand \x\ augmente au delà de toute limite le long d'un vecteur 

 déterminé quelconque situé dans l'angle 



o < o < 2-, 

 tandis qu'elles augmentent au-dessus de chaque limite quand x va vers 

 l'infmi le long de l'axe réel positif. 



» Je ferai la remarque suivante qui se rattache immédiatement à la pro- 

 priété énoncée de ces fonctions : 



» Si l'on pose 



ou 



on obtient en E{j') une nouvelle fonction entière transcendante possédant 

 la propriété bien remarquable, qui paraît à première vue paradoxale, 

 qu'elle s'approche indéfiniment de zéro quand x va vers l'infini le long d'un 

 vecteur déterminé quelconque. L'explication est la même qu'auparavant. La 



fonction diminue avec --^ d'une manière non uniforme. 



1 -^ 1 — 



,, On voit facilement que les fonctions Ë;(^), E^(x), F.{x) ne sont pas 

 de genre fini. Existe-il des fonctions de genre fini qui possèdent la même 

 propriété que j'ai fait ressortir pour ces fonctions? 



,) La réponse est négative à cause d'un théorème dû à M. Phragmén et 

 dont la démonstration sera publiée prochainement. Ce théorème, qui se 

 rattache à la propriété fondamentale de la fonction Ea(a?) (o < a < 2) et 

 qui amène une précision inespérée au théorème é\émtnlc\irequ une fonction 

 entière dont le module a une limite supérieure finie est nécessairement une con- 

 stante, est exprimé ainsi par sou auteur : 



» Soient oc et p deux quantités satisfaisant aux inégalités 



o<a<2, ()<p<- 



C. H., 1903, 2" Semestre. (T. CXXXVII, N° 15.) 7 » 



