SÉANCE DU 12 OCTOBRE HJoS. 



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l'écrivons ainsi 



(2) ' 



f -^ (/2<'^^« + a;^: r^+„ „ , ^ A"-' «,. + ç',.^,, A" w,. = o. 



)) De l'équation (2) on déduit d'abord directement le théorème connu 

 de la réduction de l'ordre de l'équalion (i), si l'on en connaît des solu- 

 tions particulières. De plus, si j^'^ mis à la place de v^; satisfait aux k 

 équations 



l'équation (1) aura k solutions de la forme 



X(^-0(^n))^O, 



où x'-P'' désigne x (^x — i) ... (-r — /? H- 1). 



» En effet, dans noire hypothèse, (2) devient 



_£__X(^Xj1;')A^^.+ ... v.'^^A^/.^o. 

 )) Or, celte équation a pour solution 



LL • l 9 tA^ y tAy y 



X 



(A-l) 



» Inversement, si l'équation (i) a des solutions ('i), les équations (x) 

 sont satisfailes. 



» 2. On démontrera facilement de l'équation (2) qu'un système fonda- 

 mental de solutions de l'équation (i) peut se mettre sous la forme 



y. =^7^ y: 





yT = C^^r-"^^T^ 



où aucune des fonctions r^; n'est identiquement nulle. 



» 3. Soient y^,\ y^^\ • • • ■> yT '^^'^ système fondamental de solutions de 

 l'équation (i). En écrivant l'équalion (i) sous la forme 



X(j) = 



^^(y.y^'---yr)=-o, 



