SÉANCE DU 19 OCTOBRE I903. 5q5 



relative à la courbe entre a- et z, f(x, y, z) =0. Ces périodes sont au 

 nombre de ip-\-m — i et satisfont à une équation différentielle linéaire F, 

 que j'ai déjà considérée et dont les points singuliers désignés par h sont en 

 nombre N (N étant la classe de la surface). De plus, les points singuliers b 

 sont de nature très simple (la surface ayant une position quelconque par 

 rapport aux axes et n'ayant que des singularités ordinaires); au point hi 

 correspond une période de (2), qui va jouer dans la suite un rôle essentiel 

 et que nous désignerons par ^,(7), cette fonction étant holomorphe autour 

 de bi. Parmi les périodes de (2), m — i correspondent aux points à l'infini 



et sont des polynômes en y que nous désignerons par 77, (j) -„^_^ (y). 



M 2. Imaginons que, dans le plan de la variable complexe 7, on trace 

 des lignes aUant d'un point a aux différents points singuliers b^, b.^, . ..,by. 

 Si, entre 12,, £^0, ..., i2„ il existe une relation 



expression 



m^<2^-h .. . + m,a,= o (les m entiers), 

 m, f a,(y)dy+...-h m, f o,( r) dy 



ne dépendra pas de a; ces expressions sont capitales dans mes recherches. 

 » Pour simplifier ici, plaçons-nous dans le cas général suivant (quoique 

 ce ne soit pas nécessaire pour quelques-ans de nos résultats) : pour une 

 intégrale arbitraire de la forme (2), il y a 2p -+- m ~ 1 fonctions i2(j) 

 linéairement indépendantes, soient 



o,(y), o^(y), ..., o^,,,„_.(j) 



correspondant respectivement aux points singuliers b de même indice. 

 Ces Q, forment un système fondamental de l'équation différentielle li- 

 néaire E'. Envisageons une autre fonction i2, soit 12,(7), ^^^ ^ est supérieur 

 à 2/? -h //2 — i; on aura la relation identique 



m^9.^ + . . .-h 7n^9^^-h m/A, = o (en posant a = 2/? 4-m — i), 



et l'expression correspondante, indépendante de a, 



m, I o , (y) dy +...-{- m, f il, ( )' ) av. 



» On obtient de celle façon 



N — 2yO — (m — l). 



