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quantilés gui sont des périodes de l'intégrale double. On peut établir qu'elles 

 représentent les valeurs de l'intégrale le long de N — 2/? — (w — i) cycles 

 à deux dimensions, situés tout entiers à distance finie. 



» 3. On doit se demander si la valeur de l'intégrale double pour un 

 tycle quelconque situé à distance finie se ramène aux périodes que nous 

 venons de trouver; c'est un point qui peut s'établir en employant, quoique 

 dans des circonstances plus complexes, une métliode analogue à celle que 

 j'ai suivie (t. I, p. 58) dans l'étude des résidus des intégrales doubles. 



» Un second point appelle aussi l'attention. Les N — 2/? — (m — i) pé- 

 riodes obtenues sont-elles distinctes? Je démontre qu'il en est ainsi, c'est- 

 à-dire qu'elles ne sont liées par aucune relation homogène et linéaire à 

 coefficients entiers, si l'intégrale double (i) est prise arbitrairenient. J'indi- 

 querai sommairement le mode de démonstration que j'ai employé et qui 

 m'a été utile dans d'autres circonstances. On établit d'abord (ce qui est à 

 peu près évident) que, s'il y a une relation linéaire à coefficients entiers 

 entre les périodes de l'intégrale arbitraire (i), ces coefficients entiers ne 

 dépendent pas des arbitraires figurant dans l'intégrale. Soit alors une inté- 

 grale déterminée, prise d'ailleurs arbitrairement, du type (i). En conser- 

 vant aux la même signification que plus haut, une relation supposée entre 

 les périodes se traduira par une relation de la forme 



(3) jn,J çi^(^y)dy-^...-^m^j o,(j)é^ = o, 



"t ''n 



les m étant des entiers qui ne sont pas tous nuls. Supposons alors que, au 

 lieu de l'intégrale (i), nous parlions de l'intégrale 



(p(j) étant un polynôme en y. On devra avoir, quelque soit ce polynôme, la 

 relation 



?(j)-^.( j) dy^...^m^ i f^{y)^^{y)dy = o, 



avec les mômes entiers m que dans la relation (3) ; on peut d'ailleurs sup- 

 poser qu'aucun des ^{y) n'est identiquement nul. De ce que nous venons 

 de dire résulte que l'on aura les relations en nombre infini, 



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f /-^.(j)^()'+--^ + '^^N j^ ./"^.>(j)^6' = « (/:-o, I, 2, ...). 



